Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado. Informações fornecidas:
- Equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
- Condições iniciais:
A tarefa é encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.
Passo 2
Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usa-se a equação característica. A ideia é procurar soluções do tipo exponencial
. Substituindo esse
na equação diferencial transforma-se a ED numa equação algébrica para
, a chamada equação característica.
Passo 3
Formar a equação característica substituindo
em
. Obtém-se:
Agora resolvemos essa equação quadrática para
.
Passo 4
Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara (aqui escrita em LaTeX): para
tem-se
No nosso caso
,
,
. Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjuntas:
Passo 5
Interpretação e fórmula geral para raízes complexas: se as raízes são
, então a solução geral real da equação homogênea é
onde
e
são constantes reais arbitrárias. Aqui
e
. Portanto a solução geral é
Passo 6
Agora vamos aplicar as condições iniciais para determinar
e
. Primeiro calculamos
. Substituindo
em
:
Pela condição inicial
segue que
Passo 7
Precisamos de
para usar
. Derivando
passo a passo (regra do produto):
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Usando a regra do produto:
Colocando
em evidência e agrupando termos em
e
:
Passo 8
Agora avaliamos
. Substituindo
e sabendo
,
:
A condição inicial é
. Usando
obtém-se
Passo 9
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução específica que satisfaz as condições iniciais:
Comentário interpretativo curto: essa solução é uma oscilação amortecida (seno e cosseno) multiplicada por um decaimento exponencial
.