Em cada item, encontre a solução geral do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O problema pede para resolver o problema de valor inicial dado. Informações fornecidas:
  • Equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y''+4y'+5y=0.
  • Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
A tarefa é encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e essas condições iniciais.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes usa-se a equação característica. A ideia é procurar soluções do tipo exponencial y(t)=e^{rt}. Substituindo esse y na equação diferencial transforma-se a ED numa equação algébrica para r, a chamada equação característica.

Passo 3

Formar a equação característica substituindo y=e^{rt} em y''+4y'+5y=0. Obtém-se:
r^{2}+4r+5=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática para r.

Passo 4

Resolver a quadrática com a fórmula de Bhaskara (aqui escrita em LaTeX): para ar^{2}+br+c=0 tem-se
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
No nosso caso a=1, b=4, c=5. Calculando o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=4^{2}-4\cdot1\cdot5=16-20=-4.
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjuntas:
r=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i.

Passo 5

Interpretação e fórmula geral para raízes complexas: se as raízes são r=\alpha\pm\beta i, então a solução geral real da equação homogênea é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais arbitrárias. Aqui \alpha=-2 e \beta=1. Portanto a solução geral é
y(t)=e^{-2t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big).

Passo 6

Agora vamos aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}. Primeiro calculamos y(0). Substituindo t=0 em y(t):
y(0)=e^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)=1\cdot\big(C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0\big)=C_{1}.
Pela condição inicial y(0)=1 segue que
C_{1}=1.

Passo 7

Precisamos de y'(t) para usar y'(0)=0. Derivando y(t)=e^{-2t}(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t) passo a passo (regra do produto):
  • Derivada de e^{-2t} é -2e^{-2t}.
  • Derivada de (C_{1}\cos t + C_{2}\sin t) é (-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t).
    Usando a regra do produto:
y'(t) = (-2e^{-2t})(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t) + e^{-2t}(-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t).
Colocando e^{-2t} em evidência e agrupando termos em \cos t e \sin t:
y'(t)=e^{-2t}\Big[(-2C_{1}+C_{2})\cos t + (-2C_{2}-C_{1})\sin t\Big].

Passo 8

Agora avaliamos y'(0). Substituindo t=0 e sabendo \cos 0=1, \sin 0=0:
y'(0)=e^{0}\Big[(-2C_{1}+C_{2})\cdot 1 + (-2C_{2}-C_{1})\cdot 0\Big]=-2C_{1}+C_{2}.
A condição inicial é y'(0)=0. Usando C_{1}=1 obtém-se
0=-2\cdot 1 + C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=2.

Passo 9

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=2 na solução geral obtemos a solução específica que satisfaz as condições iniciais:
y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big).
Comentário interpretativo curto: essa solução é uma oscilação amortecida (seno e cosseno) multiplicada por um decaimento exponencial e^{-2t}.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big)

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