Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
com as condições iniciais
- O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Nenhuma outra informação é necessária; vamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Explicando a ideia: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo
. Substituindo isso obtemos a equação característica para
:
Vamos resolver essa equação quadrática. Ela fatoriza:
portanto as raízes são
Quando as raízes são distintas reais, a solução geral da homogênea é combinação linear dessas exponenciais:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais mais adiante.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Vou usar o método dos coeficientes não determinados. A ideia é: quando o membro de forçante tem a forma de um polinômio vezes
(aqui
, polinômio de grau 1 vezes
), propõe-se um ansatz (uma forma tentativa) igual a um polinômio da mesma grau multiplicado por
, a menos que
seja solução da homogênea (ressonância), caso em que multiplica-se por potências de
.
- Aqui a parte exponencial é
. Como NÃO é raiz da equação característica (as raízes foram e ), não há ressonância. Logo propomos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Agora calculamos
e
de maneira bem detalhada e substituímos na equação para achar
e
.
Começando por
Derivando (uso a regra do produto):
Derivando novamente:
Simplificando o termo constante:
logo
Agora formamos o lado esquerdo
. Substituindo as expressões obtidas:
Colocando tudo sobre o mesmo fator
e agrupando termos em
e constantes:
Calcule os coeficientes:
- Coeficiente de
:
- Termo constante:
Portanto
Esse resultado deve ser igual ao lado direito da equação, que é
. Assim, comparando coeficientes do polinômio multiplicando
,
Igualando coeficientes de
e constantes obtemos o sistema
Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Logo a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Agora usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro calcule
. Note que
:
A condição
dá
Passo 6
Agora calculamos [y’(x)) para usar
.
Diferenciando a solução geral:
Já calculamos a derivada da parte particular na etapa anterior (com
); explicitamente:
Portanto
Avalie em
:
A condição
dá
Agora resolvemos o sistema linear para
e
:
Somando as duas equações:
Substituindo em (C_1+C_2=\tfrac{5}{3}]:
]
Passo 7
Substituindo os valores de
,
,
e
na solução geral obtemos a solução final:
Se quiser, dá para rearranjar fatores, mas essa forma já é clara e correta. Boa — você já tem a solução exata com as constantes encontradas.