Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 x e^{2 x} \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O enunciado fornece a equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y''-2y'-3y=3x e^{2x},
com as condições iniciais
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
  • O que é pedido: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Nenhuma outra informação é necessária; vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y_h''-2y_h'-3y_h=0.
Explicando a ideia: para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções do tipo y_h=e^{rx}. Substituindo isso obtemos a equação característica para r:
r^2-2r-3=0.
Vamos resolver essa equação quadrática. Ela fatoriza:
r^2-2r-3=(r-3)(r+1),
portanto as raízes são
r_1=3,\qquad r_2=-1.
Quando as raízes são distintas reais, a solução geral da homogênea é combinação linear dessas exponenciais:
y_h(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais mais adiante.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação completa
y''-2y'-3y=3x e^{2x}.
Vou usar o método dos coeficientes não determinados. A ideia é: quando o membro de forçante tem a forma de um polinômio vezes e^{\alpha x} (aqui 3x e^{2x}, polinômio de grau 1 vezes e^{2x}), propõe-se um ansatz (uma forma tentativa) igual a um polinômio da mesma grau multiplicado por e^{\alpha x}, a menos que e^{\alpha x} seja solução da homogênea (ressonância), caso em que multiplica-se por potências de x.
  • Aqui a parte exponencial é e^{2x}. Como r=2 NÃO é raiz da equação característica (as raízes foram 3 e -1), não há ressonância. Logo propomos
y_p(x)=(a x + b)\,e^{2x},
onde a e b são constantes a determinar.

Passo 4

Agora calculamos y_p' e y_p'' de maneira bem detalhada e substituímos na equação para achar a e b.
Começando por
y_p(x)=(a x + b)e^{2x}.
Derivando (uso a regra do produto):
y_p'(x)=(a)\,e^{2x} + (a x + b)\cdot 2 e^{2x}=(2a x + (a+2b))e^{2x}.
Derivando novamente:
y_p''(x)=\bigl(2a\bigr)e^{2x} + (2a x + (a+2b))\cdot 2 e^{2x}=(4a x + (2a +2(a+2b)))e^{2x}.
Simplificando o termo constante:
2a +2(a+2b)=2a+2a+4b=4a+4b,
logo
y_p''(x)=(4a x + 4(a+b))e^{2x}.
Agora formamos o lado esquerdo y_p''-2y_p'-3y_p. Substituindo as expressões obtidas:
y_p''-2y_p'-3y_p=\bigl(4a x + 4(a+b)\bigr)e^{2x} -2\bigl(2a x + (a+2b)\bigr)e^{2x} -3\bigl(a x + b\bigr)e^{2x}.
Colocando tudo sobre o mesmo fator e^{2x} e agrupando termos em x e constantes:
y_p''-2y_p'-3y_p=\bigl(4a x -4a x -3a x\bigr)e^{2x} + \bigl(4(a+b)-2(a+2b)-3b\bigr)e^{2x}.
Calcule os coeficientes:
  • Coeficiente de x:
4a -4a -3a = -3a.
  • Termo constante:
4(a+b)-2(a+2b)-3b = 4a+4b-2a-4b-3b = 2a-3b.
Portanto
y_p''-2y_p'-3y_p=\bigl(-3a x + (2a-3b)\bigr)e^{2x}.
Esse resultado deve ser igual ao lado direito da equação, que é 3x e^{2x}. Assim, comparando coeficientes do polinômio multiplicando e^{2x},
-3a x + (2a-3b) = 3x + 0.
Igualando coeficientes de x e constantes obtemos o sistema
-3a = 3,\qquad 2a-3b=0.
Da primeira equação vem
a=-1.
Substituindo na segunda:
2(-1)-3b=0 \quad\Rightarrow\quad -2-3b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{2}{3}.
Logo a solução particular é
y_p(x)=\bigl(-x -\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}+\bigl(-x -\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.
Agora usamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro calcule y(0). Note que e^{0}=1:
y(0)=C_1 + C_2 +\bigl(0 -\tfrac{2}{3}\bigr)\cdot 1 = C_1 + C_2 -\tfrac{2}{3}.
A condição y(0)=1
C_1 + C_2 -\tfrac{2}{3}=1 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 1+\tfrac{2}{3}=\tfrac{5}{3}.

Passo 6

Agora calculamos [y’(x)) para usar y'(0)=0.
Diferenciando a solução geral:
y'(x)=3C_1 e^{3x}-C_2 e^{-x} +\text{derivada de } \bigl(-x -\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.
Já calculamos a derivada da parte particular na etapa anterior (com a=-1,b=-2/3); explicitamente:
\frac{d}{dx}\bigl((-x-\tfrac{2}{3})e^{2x}\bigr)=(-2x-\tfrac{7}{3})e^{2x}.
Portanto
y'(x)=3C_1 e^{3x}-C_2 e^{-x}+(-2x-\tfrac{7}{3})e^{2x}.
Avalie em x=0:
y'(0)=3C_1 - C_2 +\bigl(0 -\tfrac{7}{3}\bigr)=3C_1 - C_2 -\tfrac{7}{3}.
A condição y'(0)=0
3C_1 - C_2 -\tfrac{7}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 3C_1 - C_2 = \tfrac{7}{3}.
Agora resolvemos o sistema linear para C_1 e C_2:
\begin{cases} C_1 + C_2 = \tfrac{5}{3},\\[4pt] 3C_1 - C_2 = \tfrac{7}{3}. \end{cases}
Somando as duas equações:
4C_1 = \tfrac{5}{3}+\tfrac{7}{3}=\tfrac{12}{3}=4 \quad\Rightarrow\quad C_1=1.
Substituindo em (C_1+C_2=\tfrac{5}{3}]:
1 + C_2 = \tfrac{5}{3} \quad\Rightarrow\quad C_2 = \tfrac{2}{3}.]

Passo 7

Substituindo os valores de C_1, C_2, a e b na solução geral obtemos a solução final:
y(x)=e^{3x}+\tfrac{2}{3}e^{-x}+\bigl(-x-\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}.
Se quiser, dá para rearranjar fatores, mas essa forma já é clara e correta. Boa — você já tem a solução exata com as constantes encontradas.

Resposta

y(x)=e^{3x}+\tfrac{2}{3}e^{-x}+\bigl(-x-\tfrac{2}{3}\bigr)e^{2x}

Exercícios relacionados