Em cada item, encontre a solução o problema de valor inicial dado.
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\ y(-1)=2, y^{\prime}(-1)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial formado pela equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais (peguei tudo do enunciado):
\begin{cases} y'' + 4y' + 4y = 0,\\[4pt] y(-1)=2,\quad y'(-1)=1. \end{cases}
As perguntas são: encontrar a solução geral do EDO homogênea e, a partir das condições dadas em x=-1, determinar a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial.]

Passo 2

Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Isso vem da observação de que para coeficientes constantes exponenciais transformam a EDO em uma equação algébrica chamada equação característica. Substituindo y=e^{rx} na equação y''+4y'+4y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+4r+4=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Calcule o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot4 =16-16=0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{-4}{2}=-2.

Passo 3

Interpretação da raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz \,r=-2\, com multiplicidade 2, a forma geral das soluções da EDO homogênea é
y(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicação rápida do porquê: para multiplicidade 2, além de e^{rx} a segunda solução independente é x e^{rx}.

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais; primeiro precisamos de y'(x). Partimos de
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}.
Usando a regra do produto, compute a derivada passo a passo:
  • derivada de (C_{1}+C_{2}x) é C_{2};
  • derivada de e^{-2x} é -2e^{-2x}.
    Portanto
y'(x)=C_{2}e^{-2x} + (C_{1}+C_{2}x)(-2)e^{-2x}.
Fatorando e^{-2x},
y'(x)=\bigl(C_{2}-2C_{1}-2C_{2}x\bigr)e^{-2x}.

Passo 5

Agora aplique as condições iniciais em x=-1.
Primeira condição y(-1)=2:
y(-1)=(C_{1}+C_{2}(-1))e^{-2(-1)}=(C_{1}-C_{2})e^{2}=2.
Isolando as constantes:
C_{1}-C_{2}=2e^{-2}. \tag{1}
Segunda condição y'(-1)=1: usando a expressão de y'(x),
y'(-1)=\bigl(C_{2}-2C_{1}-2C_{2}(-1)\bigr)e^{2}=\bigl(-2C_{1}+3C_{2}\bigr)e^{2}=1,
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-2C_{1}+3C_{2}=e^{-2}. \tag{2}

Passo 6

Resolver o sistema linear formado por (1) e (2):
\begin{cases} C_{1}-C_{2}=2e^{-2},\\[4pt] -2C_{1}+3C_{2}=e^{-2}. \end{cases}
Da primeira equação C_{1}=2e^{-2}+C_{2}. Substituindo na segunda:
-2(2e^{-2}+C_{2})+3C_{2}=e^{-2}.
Desenvolvendo:
-4e^{-2}-2C_{2}+3C_{2}=e^{-2}\quad\Rightarrow\quad -4e^{-2}+C_{2}=e^{-2}.
Assim
C_{2}=5e^{-2}.
E então
C_{1}=2e^{-2}+5e^{-2}=7e^{-2}.]

Passo 7

Substituindo C_{1} e C_{2} na solução geral \,y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}\,, obtemos a solução particular do problema de valor inicial:
y(x)=\bigl(7e^{-2}+5e^{-2}x\bigr)e^{-2x}.
Podemos simplificar fatorando e^{-2}:
y(x)=e^{-2}(7+5x)e^{-2x}=(7+5x)e^{-2(x+1)}.

Passo 8

Verificação rápida (cheque de conforto): calcular y(-1) e y'(-1) com a solução final.
  • y(-1)=(7+5(-1))e^{-2(0)}=(7-5)\cdot1=2 (confere).
  • Para y'(-1) a conta também resulta em 1 (já usada para determinar as constantes), portanto as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(x)=(7+5x)e^{-2(x+1)}

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