Em cada item, encontre a solução o problema de valor inicial dado.
\left{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0 \\ y(-1)=2, y^{\prime}(-1)=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial formado pela equação diferencial de segunda ordem e as condições iniciais (peguei tudo do enunciado):
As perguntas são: encontrar a solução geral do EDO homogênea e, a partir das condições dadas em x=-1, determinar a solução particular que satisfaz o problema de valor inicial.]
Passo 2
Método: procurar soluções da forma y=e^{rx}. Isso vem da observação de que para coeficientes constantes exponenciais transformam a EDO em uma equação algébrica chamada equação característica. Substituindo y=e^{rx} na equação y''+4y'+4y=0 obtemos a equação característica
r^{2}+4r+4=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Calcule o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot4 =16-16=0.
Como \Delta=0, há uma raiz real dupla. A raiz é
r=\frac{-4}{2}=-2.
Passo 3
Interpretação da raiz dupla: quando a equação característica tem uma raiz \,r=-2\, com multiplicidade 2, a forma geral das soluções da EDO homogênea é
y(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Explicação rápida do porquê: para multiplicidade 2, além de e^{rx} a segunda solução independente é x e^{rx}.
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais; primeiro precisamos de y'(x). Partimos de
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-2x}.
Usando a regra do produto, compute a derivada passo a passo: