Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- É uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
. - O objetivo é encontrar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Método (explicação didática): para equações com coeficientes constantes, busca-se soluções do tipo
. A razão é que derivando
obtém-se múltiplos de
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
.
Substituindo
na homogênea:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação característica:
Agora resolvemos essa quadrática. Fatorando:
logo as raízes são
e
.
Interpretação: raízes reais e distintas geram duas soluções independentes
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Escolha do método (aula curta): como o lado direito é uma combinação exponencial
, o método mais direto é o dos coeficientes indeterminados. A ideia é supor uma forma para
semelhante ao termo forçante, com constantes a determinar.
Regra prática importante: se
aparece no lado direito e
não é raiz da equação característica, então tenta-se
. Se
for uma raiz de multiplicidade
da característica, multiplica-se por
:
.
No nosso caso
. Verificamos: 2 não é raiz da equação característica (as raízes foram 3 e
). Portanto podemos tentar o palpite simples
onde
é uma constante a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial:
Simplificando o fator comum
:
Isso deve ser igual ao lado direito
. Portanto:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação original é a soma da solução da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Dica prática para a prova (resumo curto e útil): sempre resolva a homogênea pela equação característica; para o particular, escolha um palpite baseado no termo forçante e lembre-se de multiplicar por
quando o expoente coincidir com uma raiz de multiplicidade
. Isso evita palpites errados e poupa tempo.