Em cada item, encontre a solução geral da equação diferencial dada.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede a solução geral:
y''-2y'-3y=3e^{2x}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • É uma equação de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é 3e^{2x}.
  • O objetivo é encontrar a solução geral y(x), ou seja, a soma da solução geral da equação homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro vamos resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y''-2y'-3y=0.
Método (explicação didática): para equações com coeficientes constantes, busca-se soluções do tipo y=e^{rx}. A razão é que derivando e^{rx} obtém-se múltiplos de e^{rx}, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r.
Substituindo y=e^{rx} na homogênea:
r^2 e^{rx}-2r e^{rx}-3 e^{rx}=0.
Como e^{rx}\neq0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação característica:
r^2-2r-3=0.
Agora resolvemos essa quadrática. Fatorando:
r^2-2r-3=(r-3)(r+1)=0,
logo as raízes são r=3 e r=-1.
Interpretação: raízes reais e distintas geram duas soluções independentes e^{3x} e e^{-x}. Assim a solução geral da homogênea é
y_c=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa
y''-2y'-3y=3e^{2x}.
Escolha do método (aula curta): como o lado direito é uma combinação exponencial 3e^{2x}, o método mais direto é o dos coeficientes indeterminados. A ideia é supor uma forma para y_p semelhante ao termo forçante, com constantes a determinar.
Regra prática importante: se e^{\alpha x} aparece no lado direito e \alpha não é raiz da equação característica, então tenta-se y_p = A e^{\alpha x}. Se \alpha for uma raiz de multiplicidade m da característica, multiplica-se por x^m: y_p = x^m(A e^{\alpha x}).
No nosso caso \alpha=2. Verificamos: 2 não é raiz da equação característica (as raízes foram 3 e -1). Portanto podemos tentar o palpite simples
y_p = A e^{2x},
onde A é uma constante a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = 2A e^{2x},\qquad y_p'' = 4A e^{2x}.
Substituímos na equação diferencial:
y_p''-2y_p'-3y_p = 4A e^{2x} - 2(2A e^{2x}) - 3(A e^{2x}).
Simplificando o fator comum e^{2x}:
(4A - 4A - 3A)e^{2x} = (-3A)e^{2x}.
Isso deve ser igual ao lado direito 3e^{2x}. Portanto:
-3A e^{2x} = 3 e^{2x} \quad\Rightarrow\quad -3A = 3.
Logo
A = -1.
Portanto a solução particular é
y_p = -e^{2x}.

Passo 5

A solução geral da equação original é a soma da solução da homogênea com a particular:
y(x)=y_c+y_p = C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x} - e^{2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.
Dica prática para a prova (resumo curto e útil): sempre resolva a homogênea pela equação característica; para o particular, escolha um palpite baseado no termo forçante e lembre-se de multiplicar por x^m quando o expoente coincidir com uma raiz de multiplicidade m. Isso evita palpites errados e poupa tempo.

Resposta

y(x)=C_1 e^{3x}+C_2 e^{-x}-e^{2x}

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