Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
- Equação diferencial e condição inicial (peguei tudo do enunciado):
- O que o problema pede: encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero) para achar a parte geral da solução.
- Equação homogênea:
- Usamos a equação característica: substituímos
e obtemos
- Essa é uma quadrática que fatoriza:
ou seja,
é raiz dupla (multiplicidade 2).
- Quando a raiz
tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Intuição: uma raiz simples dá
; raiz dupla adiciona o fator
no segundo termo.)
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
para a equação não homogênea. O lado direito é a soma de dois termos:
e
. Podemos procurar uma solução particular que seja soma de soluções particulares para cada termo:
, com
Começo pelo termo mais simples,
.
- Tentar
(constante). Substituindo na equação:
Queremos que isso seja
, então
. Logo
Passo 4
Agora tratamos
. Vou explicar um truque muito útil que simplifica bastante as contas.
- Observe que o operador linear da equação é
. Podemos escrever isso como , onde é a derivada em relação a (isto é, ). Então
- Se procuramos uma solução da forma
(produto de uma função por ), vale a conta (usar regra do produto):
Substituindo em
dá:
Portanto, para funções da forma
,
Esse é o truque: o operador
aplicado a
reduz para
.
- Queremos
. Se escolhemos , a equação vira
Passo 5
Resolver
é simples: integrar duas vezes.
- Integração 1:
- Integração 2:
- Os termos com
multiplicados por gerariam partes da solução homogênea (lembre que está incluso em ), então para uma escolha de particular conveniente podemos tomar . Assim uma escolha simples de é
Logo
Passo 6
Juntando as partes particulares:
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
Podemos agrupar o fator
:
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
- Avaliando
:
Como
, temos
- Para
precisamos da derivada. Seja , então . Usando regra do produto:
Calcule
:
Assim
Avaliar em
:
Como
e
, obtemos
Passo 8
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais: