Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x}+4 \\\ y(0)=1, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado nos deu e o que ele pede.
  • Equação diferencial e condição inicial (peguei tudo do enunciado):
y''-2y'+y= x e^{x}+4, \qquad y(0)=1,\quad y'(0)=1.
  • O que o problema pede: encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e as condições iniciais.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com lado direito zero) para achar a parte geral da solução.
  • Equação homogênea:
y''-2y'+y=0.
  • Usamos a equação característica: substituímos y=e^{rx} e obtemos
r^{2}-2r+1=0.
  • Essa é uma quadrática que fatoriza:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2},
ou seja, r=1 é raiz dupla (multiplicidade 2).
  • Quando a raiz r=1 tem multiplicidade 2, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Intuição: uma raiz simples dá e^{rx}; raiz dupla adiciona o fator x no segundo termo.)

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p} para a equação não homogênea. O lado direito é a soma de dois termos: x e^{x} e 4. Podemos procurar uma solução particular que seja soma de soluções particulares para cada termo: y_{p}=y_{p1}+y_{p2}, com
y_{p1}\\ \text{para}\\ x e^{x}, \qquad y_{p2}\\ \text{para}\\\ 4.
Começo pelo termo mais simples, 4.
  • Tentar y_{p2}=A (constante). Substituindo na equação:
y_{p2}''-2y_{p2}'+y_{p2}=0-0+A=A.
Queremos que isso seja 4, então A=4. Logo
y_{p2}=4.

Passo 4

Agora tratamos x e^{x}. Vou explicar um truque muito útil que simplifica bastante as contas.
  • Observe que o operador linear da equação é L[y]=y''-2y'+y. Podemos escrever isso como (D-1)^{2}y, onde D é a derivada em relação a x (isto é, D[y]=y'). Então
L[y]=(D-1)^{2}y.
  • Se procuramos uma solução da forma y(x)=u(x)e^{x} (produto de uma função u(x) por e^{x}), vale a conta (usar regra do produto):
y'= (u'+u)e^{x},\qquad y''=(u''+2u'+u)e^{x}.
Substituindo em L[y]=y''-2y'+y dá:
L[u e^{x}]=\big(u''+2u'+u-2(u'+u)+u\big)e^{x}=u''(x)e^{x}.
Portanto, para funções da forma u(x)e^{x},
(D-1)^{2}\big(u e^{x}\big)=u'' e^{x}.
Esse é o truque: o operador (D-1)^{2} aplicado a u e^{x} reduz para u'' e^{x}.
  • Queremos L[y_{p1}]=x e^{x}. Se escolhemos y_{p1}=u(x)e^{x}, a equação vira
u''(x)e^{x}=x e^{x}\quad\Rightarrow\quad u''(x)=x.

Passo 5

Resolver u''(x)=x é simples: integrar duas vezes.
  • Integração 1:
u'(x)=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C_{3}.
  • Integração 2:
u(x)=\int\Big(\frac{x^{2}}{2}+C_{3}\Big)dx=\frac{x^{3}}{6}+C_{3}x+C_{4}.
  • Os termos com C_{3}x+C_{4} multiplicados por e^{x} gerariam partes da solução homogênea (lembre que (C_4 + C_3 x)e^x está incluso em y_h), então para uma escolha de particular conveniente podemos tomar C_{3}=C_{4}=0. Assim uma escolha simples de u é
u(x)=\frac{x^{3}}{6}.
Logo
y_{p1}(x)=\frac{x^{3}}{6}e^{x}.

Passo 6

Juntando as partes particulares:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=\frac{x^{3}}{6}e^{x}+4.
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}+\frac{x^{3}}{6}e^{x}+4.
Podemos agrupar o fator e^{x}:
y(x)=\Big(C_{1}+C_{2}x+\frac{x^{3}}{6}\Big)e^{x}+4.

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
  • Avaliando y(0)=1:
y(0)=\Big(C_{1}+C_{2}\cdot 0+\frac{0^{3}}{6}\Big)e^{0}+4=C_{1}+4.
Como y(0)=1, temos
C_{1}+4=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-3.
  • Para y'(0)=1 precisamos da derivada. Seja v(x)=C_{1}+C_{2}x+\dfrac{x^{3}}{6}, então y=v e^{x}+4. Usando regra do produto:
y'(x)=(v'(x)+v(x))e^{x}.
Calcule v'(x):
v'(x)=C_{2}+\frac{x^{2}}{2}.
Assim
y'(x)=\Big(C_{2}+\frac{x^{2}}{2}+C_{1}+C_{2}x+\frac{x^{3}}{6}\Big)e^{x}.
Avaliar em x=0:
y'(0)=\big(C_{2}+0+C_{1}+0+0\big)e^{0}=C_{1}+C_{2}.
Como y'(0)=1 e C_{1}=-3, obtemos
-3+C_{2}=1\quad\Rightarrow\quad C_{2}=4.

Passo 8

Substituindo C_{1}=-3 e C_{2}=4 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais:
y(x)=\Big(-3+4x+\frac{x^{3}}{6}\Big)e^{x}+4.

Resposta

y(x)=\left(-3+4x+\dfrac{x^{3}}{6}\right)e^{x}+4

Exercícios relacionados