Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}+3 e^{x} \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por:
\begin{cases} y''+4y = x^{2}+3e^{x},\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=2. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (lado direito) é a soma de um polinômio de grau 2 e de uma exponencial 3e^{x}.
  • As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=2.]

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+4y=0.
Explicação do método (característica): para equações lineares constantes testamos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico em r:
r^{2}+4=0.
Resolvendo:
r^{2}=-4\quad\Rightarrow\quad r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas a\pm bi (aqui a=0, b=2), a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Breve motivo: as combinações lineares de \cos e \sin correspondem às partes reais e imaginárias de e^{(a+bi)x}.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: suponha uma forma para y_{p} com parâmetros desconhecidos e determine-os impondo que y_{p}''+4y_{p}=x^{2}+3e^{x}.
Como o lado direito é soma de um polinômio de grau 2 e de uma exponencial e^{x}, tentamos somar soluções particulares correspondentes a cada parte:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x),
onde y_{p1} trata o polinômio e y_{p2} trata 3e^{x}.
Para o polinômio x^{2} escolhemos a forma:
y_{p1}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C a determinar. (Justificativa: derivadas de polinômios permanecem polinômios do mesmo tipo; não há ressonância porque a homogênea não contém termos polinomiais.)
Calcule as derivadas:
y_{p1}'(x)=2Ax+B,\qquad y_{p1}''(x)=2A.
Substituindo em y''+4y:
y_{p1}''+4y_{p1}=2A+4(Ax^{2}+Bx+C)=4A x^{2}+4B x+(2A+4C).
Impondo que isso seja igual à parte polinomial do lado direito, isto é x^{2}, obtemos o sistema por comparação de coeficientes:
\begin{cases} 4A = 1,\\[4pt] 4B = 0,\\[4pt] 2A+4C = 0. \end{cases}
Resolvendo:
A=\tfrac{1}{4},\qquad B=0,\qquad 2\cdot\tfrac{1}{4}+4C=0\Rightarrow \tfrac{1}{2}+4C=0\Rightarrow C=-\tfrac{1}{8}.
Logo
y_{p1}(x)=\tfrac{1}{4}x^{2}-\tfrac{1}{8}.]

Passo 4

Agora a parte exponencial 3e^{x}. Tentamos
y_{p2}(x)=D e^{x},
com D desconhecido. (Justificativa: para termos ke^{\alpha x} usa-se Ce^{\alpha x}, a não ser que e^{\alpha x} seja solução da homogênea — aqui \alpha=1 e a homogênea tem soluções \cos(2x),\sin(2x), então não há ressonância.)
Calcule:
y_{p2}''(x)=D e^{x},
logo
y_{p2}''+4y_{p2}=D e^{x}+4D e^{x}=5D e^{x}.
Impondo 5D e^{x}=3e^{x}
5D=3\quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{3}{5}.
Portanto
y_{p2}(x)=\tfrac{3}{5}e^{x}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}x^{2}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}e^{x}.

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Primeiro avalie y(0):
y(0)=C_{1}\cos(0)+C_{2}\sin(0)+\tfrac{1}{4}\cdot 0^{2}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}e^{0}.
Como \cos(0)=1, \sin(0)=0 e e^{0}=1, temos
y(0)=C_{1}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}.
A condição é y(0)=0, então
C_{1}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}=0.
Calcule -\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}= comum denominador 40: -5/40+24/40=19/40. Assim
C_{1}+\tfrac{19}{40}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}=-\tfrac{19}{40}.
Agora precisamos de y'(x). Diferenciando a expressão geral:
y'(x)=-2C_{1}\sin(2x)+2C_{2}\cos(2x)+\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{5}e^{x}.
(Atenção ao calcular: derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x), de \sin(2x) é 2\cos(2x), de \tfrac{1}{4}x^{2} é \tfrac{1}{2}x.)
Avalie em x=0:
y'(0)=-2C_{1}\sin(0)+2C_{2}\cos(0)+\tfrac{1}{2}\cdot 0+\tfrac{3}{5}e^{0}.
Usando \sin(0)=0, \cos(0)=1, e^{0}=1, obtemos
y'(0)=2C_{2}+\tfrac{3}{5}.
A condição é y'(0)=2, logo
2C_{2}+\tfrac{3}{5}=2\quad\Rightarrow\quad 2C_{2}=2-\tfrac{3}{5}=\tfrac{10}{5}-\tfrac{3}{5}=\tfrac{7}{5}.
Portanto
C_{2}=\tfrac{7}{10}.

Passo 7

Substituindo C_{1}=-\tfrac{19}{40} e C_{2}=\tfrac{7}{10} na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(x)=-\tfrac{19}{40}\cos(2x)+\tfrac{7}{10}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}x^{2}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}e^{x}.

Resposta

y(x)=-\tfrac{19}{40}\cos(2x)+\tfrac{7}{10}\sin(2x)+\tfrac{1}{4}x^{2}-\tfrac{1}{8}+\tfrac{3}{5}e^{x}

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