Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado. \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y=x^{2}+3 e^{x} \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=2\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado por:
A equação diferencial é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
O termo não homogêneo (lado direito) é a soma de um polinômio de grau 2 e de uma exponencial 3e^{x}.
As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=2.]
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+4y=0.
Explicação do método (característica): para equações lineares constantes testamos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico em r:
r^{2}+4=0.
Resolvendo:
r^{2}=-4\quad\Rightarrow\quad r=\pm 2i.
Quando as raízes são complexas conjugadas a\pm bi (aqui a=0, b=2), a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\cos(2x)+C_{2}\sin(2x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Breve motivo: as combinações lineares de \cos e \sin correspondem às partes reais e imaginárias de e^{(a+bi)x}.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação completa. Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados: suponha uma forma para y_{p} com parâmetros desconhecidos e determine-os impondo que y_{p}''+4y_{p}=x^{2}+3e^{x}.
Como o lado direito é soma de um polinômio de grau 2 e de uma exponencial e^{x}, tentamos somar soluções particulares correspondentes a cada parte:
y_{p}(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x),
onde y_{p1} trata o polinômio e y_{p2} trata 3e^{x}.
Para o polinômio x^{2} escolhemos a forma:
y_{p1}(x)=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C a determinar. (Justificativa: derivadas de polinômios permanecem polinômios do mesmo tipo; não há ressonância porque a homogênea não contém termos polinomiais.)
com D desconhecido. (Justificativa: para termos ke^{\alpha x} usa-se Ce^{\alpha x}, a não ser que e^{\alpha x} seja solução da homogênea — aqui \alpha=1 e a homogênea tem soluções \cos(2x),\sin(2x), então não há ressonância.)
Calcule:
y_{p2}''(x)=D e^{x},
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y_{p2}''+4y_{p2}=D e^{x}+4D e^{x}=5D e^{x}.
Impondo 5D e^{x}=3e^{x} dá
5D=3\quad\Rightarrow\quad D=\tfrac{3}{5}.
Portanto
y_{p2}(x)=\tfrac{3}{5}e^{x}.
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular: