Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. As informações fornecidas são:
- A equação diferencial:
- As condições iniciais:
O que o enunciado pede: encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, a mesma equação com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
, onde
é uma constante a determinar. Substituindo
na homogênea obtemos a equação característica
Isso vem de
e
; cancelando o fator
(não nulo) fica a quadrática acima.
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática
. Usando fatoração ou fórmula de Bhaskara:
portanto as raízes são
e
.
Como as raízes são distintas e reais, a solução geral da equação homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (a determinar pelas condições iniciais). Aqui
e
representam as amplitudes dos modos exponenciais
e
.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau
(ou seja,
), aplicamos o método dos coeficientes a determinar: assumimos uma solução particular polinomial de mesmo grau
onde
e
são constantes a determinar. Observação importante: antes de escolher a forma, sempre checar se algum dos termos ansatz coincide com soluções da homogênea; aqui
e
não são polinômios, então não há ressonância e a escolha
é válida.
Passo 5
Calcular as derivadas de
:
Substituir na equação:
Organizando termos em potências de
:
Igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de
e termo constante) com o lado direito
:
- Coeficiente de
: ⇒ . - Termo constante:
. Substituindo : ⇒ ⇒ .
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 7
Calcular
a partir da solução geral e impor
:
Como
, obtemos a equação
Passo 8
Calcular
da solução geral para impor
. Primeiro derivamos:
Substituindo
:
Como
, temos
Passo 9
Resolvemos o sistema linear para
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Logo
:
Passo 10
Substituindo
e
na solução geral obtemos a solução do PVI: