Em cada item, encontre a solução do problema de valor inicial dado.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=2 x \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes constantes. As informações fornecidas são:
  • A equação diferencial:
y''+y'-2y=2x.
  • As condições iniciais:
y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
O que o enunciado pede: encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, a mesma equação com o lado direito igual a zero). A equação homogênea é
y''+y'-2y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y(x)=e^{rx}, onde r é uma constante a determinar. Substituindo y=e^{rx} na homogênea obtemos a equação característica
r^{2}+r-2=0.
Isso vem de y'=r e^{rx} e y''=r^{2}e^{rx}; cancelando o fator e^{rx} (não nulo) fica a quadrática acima.

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática r^{2}+r-2=0. Usando fatoração ou fórmula de Bhaskara:
r^{2}+r-2=(r+2)(r-1)=0,
portanto as raízes são r_{1}=1 e r_{2}=-2.
Como as raízes são distintas e reais, a solução geral da equação homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (a determinar pelas condições iniciais). Aqui C_{1} e C_{2} representam as amplitudes dos modos exponenciais e^{x} e e^{-2x}.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(x) da equação completa
y''+y'-2y=2x.
Como o termo do lado direito é um polinômio de grau 1 (ou seja, 2x), aplicamos o método dos coeficientes a determinar: assumimos uma solução particular polinomial de mesmo grau
y_{p}(x)=Ax+B,
onde A e B são constantes a determinar. Observação importante: antes de escolher a forma, sempre checar se algum dos termos ansatz coincide com soluções da homogênea; aqui e^{x} e e^{-2x} não são polinômios, então não há ressonância e a escolha Ax+B é válida.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=A,\qquad y_{p}''(x)=0.
Substituir na equação:
y_{p}''+y_{p}'-2y_{p}=0 + A -2(Ax+B).
Organizando termos em potências de x:
A -2Ax -2B = 2x.
Igualando coeficientes do polinômio (coeficiente de x e termo constante) com o lado direito 2x+0:
  • Coeficiente de x: -2A = 2 A = -1.
  • Termo constante: A -2B = 0. Substituindo A=-1: -1 -2B =0 -2B = 1 B = -\tfrac{1}{2}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=-x-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x}-x-\tfrac{1}{2}.
Agora vamos usar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 7

Calcular y(0) a partir da solução geral e impor y(0)=0:
y(0)=C_{1}e^{0}+C_{2}e^{0}-0-\tfrac{1}{2}=C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{2}.
Como y(0)=0, obtemos a equação
C_{1}+C_{2}-\tfrac{1}{2}=0\quad\Longrightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Calcular y'(x) da solução geral para impor y'(0)=1. Primeiro derivamos:
y'(x)=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}-1.
Substituindo x=0:
y'(0)=C_{1}-2C_{2}-1.
Como y'(0)=1, temos
C_{1}-2C_{2}-1=1\quad\Longrightarrow\quad C_{1}-2C_{2}=2.

Passo 9

Resolvemos o sistema linear para C_{1}\) e \(C_{2}\): \[\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2},\\[4pt] C_{1}-2C_{2}=2. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C_{1}-2C_{2})-(C_{1}+C_{2})=2-\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad -3C_{2}=\tfrac{3}{2}.
Logo C_{2}=-\tfrac{1}{2}\]. Substituindo em \(C_{1}+C_{2}=\tfrac{1}{2}:
C_{1}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=1.]

Passo 10

Substituindo C_{1}=1 e C_{2}=-\tfrac{1}{2} na solução geral obtemos a solução do PVI:
y(x)=e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{-2x}-x-\tfrac{1}{2}.

Resposta

y(x)=e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{-2x}-x-\tfrac{1}{2}

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