Em cada item, enocntre as coordenadas do vetor v em relação à base B indicada, do subespaço W.
v=(ll-1 & 0 -2 & 0), B=(ll1 & 1 1 & 0),(rr0 & -1 1 & 0),(rr1 & -1 0 & 0).

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas de
v=-1&0-2&0
na base
B=lb1=1&11&0,,b2=0&-11&0,,b3=1&-10&0r
do subespaço W.
O que precisamos é encontrar escalares c1,c2,c3 tais que
c1b1+c2b2+c3b3 ;=; v,
usando combinação linear de matrizes.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e igualando a v, temos
c11&11&0 +c20&-11&0 +c31&-10&0 = -1&0-2&0
Agora basta comparar cada uma das quatro entradas para obter um sistema em c1,c2,c3.

Passo 3

Comparando as entradas (1,1),(1,2),(2,1),(2,2) vem
c1 + 0cdot c2 + c3 = -1, c1 - c2 - c3 = 0, c1 + c2 + 0cdot c3 = -2, 0 = 0 (trivial)
Isto reduz ao sistema
c1 + c3 = -1, c1 - c2 - c3 = 0, c1 + c2 = -2

Passo 4

Da terceira equação segue
c2 = -2 - c1,
e da primeira
c3 = -1 - c1
Substituindo ambas na segunda equação,
c1 -(-2 - c1) -(-1 - c1) = 0 Longrightarrow c1 + 2 + c1 + 1 + c1 = 0 Longrightarrow 3c1 + 3 = 0 Longrightarrow c1 = -1
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c2 = -2 - (-1) = -1, c3 = -1 - (-1) = 0

Resposta

As coordenadas de v na base B são
[v]B = (-1,,-1,,0)

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