Q 18 Sabendo que R^4=W1 oplus W2, W1=[(1,2,3,4),(3,6,9,12)], determine dim(W2).

Passo 1

O enunciado nos informa que
R^4=W1oplus W2, com
W1=span(1,2,3,4),(3,6,9,12)
O conteúdo é soma direta de subespaços e a fórmula de dimensões
dim(W1oplus W2)=dim(W1)+dim(W2),
sabendo que dim(R^4)=4. Para resolver, precisamos achar dim(W1) e usar a soma direta.

Passo 2

Analisamos os geradores de W1. Note que
(3,6,9,12)=3,(1,2,3,4),
logo os dois vetores são linearmente dependentes e geram uma reta. Portanto
dim(W1)=1

Passo 3

Como R^4=W1oplus W2, vale
dim(R^4)=dim(W1)+dim(W2)
4 = 1 + dim(W2)
Logo
dim(W2)=4-1=3

Resposta

3

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