Em cada item, escreva a função
como a composta de duas funções
e
, ou seja,
. Então, encontre a derivada
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: escrever
como composição de duas funções
e
(ou seja,
) e depois calcular a derivada
.
Informações dadas:
- A função é
.
O que é pedido:
- Encontrar
e tais que . - Calcular
.
Passo 2
Escolher a decomposição natural em função externa (a trigonométrica) e função interna (o polinômio):
- Definir a variável intermediária
para clareza, e tomar ou seja, . - Tomar a função externa como
Verificação rápida:
, portanto essa escolha é válida.
Passo 3
Apresentar a regra que vamos usar: a regra da cadeia.
- Regra da cadeia (forma prática): se
, então - Interpretação intuitiva: a taxa de variação total de
é a taxa de variação da parte externa avaliada na parte interna , multiplicada pela taxa de variação da parte interna . Pense assim: primeiro como muda quando seu argumento muda; depois quanto muda quando muda.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais (a derivada de
em função de
e a derivada de
em função de
).
-
Derivada da função externa
. Para , a derivada em relação a é Aquié a função cosseno; isso vem da fórmula básica da diferenciação de funções trigonométricas: . -
Derivada da função interna
. Para , derivamos termo a termo: - Derivada de
é . - Derivada de
é (uso da regra da potência: ).
Portanto
- Derivada de
Passo 5
Aplicar a regra da cadeia juntando
e
.
- Pela regra da cadeia,
- Substituindo
com e , obtemos - Reescrevendo
em termos de , - Opcional: fatorando
,
Passo 6
Resumo prático para a prova (dica amiga):
- Identifique rapidamente a parte interna (
) e a externa ( ). - Use a regra da cadeia: derive a externa em relação ao seu argumento e multiplique pela derivada da interna.
- Resultado final bem arrumado pode ajudar a evitar erros de sinal:
.
Força aí — você já sabe exatamente como proceder se aparecer outra função do tipo
na prova!