Em cada item, escreva a função h como a composta de duas funções f e g, ou seja, h(x)=(f \circ g)(x). Então, encontre a derivada h^{\prime}(x).
h(x)=\operatorname{sen}\left(4 x-2 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função h e pede duas coisas: escrever h como composição de duas funções f e g (ou seja, h=(f\circ g)) e depois calcular a derivada h'(x).
Informações dadas:
  • A função é h(x)=\operatorname{sen}\!\left(4x-2x^{2}\right).
O que é pedido:
  • Encontrar f e g tais que h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Calcular h'(x).

Passo 2

Escolher a decomposição natural em função externa (a trigonométrica) e função interna (o polinômio):
  • Definir a variável intermediária u para clareza, e tomar g(x)=4x-2x^{2},ou seja, u=g(x).
  • Tomar a função externa como f(u)=\operatorname{sen}(u).
Verificação rápida: f(g(x))=\operatorname{sen}\big(g(x)\big)=\operatorname{sen}\!\left(4x-2x^{2}\right)=h(x), portanto essa escolha é válida.

Passo 3

Apresentar a regra que vamos usar: a regra da cadeia.
  • Regra da cadeia (forma prática): se h(x)=(f\circ g)(x)=f(g(x)), então (f\circ g)'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
  • Interpretação intuitiva: a taxa de variação total de h é a taxa de variação da parte externa f avaliada na parte interna g(x), multiplicada pela taxa de variação da parte interna g. Pense assim: primeiro como muda f quando seu argumento u muda; depois quanto u muda quando x muda.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais (a derivada de f em função de u e a derivada de g em função de x).
  • Derivada da função externa f. Para f(u)=\operatorname{sen}(u), a derivada em relação a u é
    f'(u)=\cos(u).
    Aqui \cos é a função cosseno; isso vem da fórmula básica da diferenciação de funções trigonométricas: \dfrac{d}{du}\operatorname{sen}(u)=\cos(u).
  • Derivada da função interna g. Para g(x)=4x-2x^{2}, derivamos termo a termo:
    • Derivada de 4x é 4.
    • Derivada de -2x^{2} é -4x (uso da regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
      Portanto
    g'(x)=4-4x.

Passo 5

Aplicar a regra da cadeia juntando f' e g'.
  • Pela regra da cadeia, h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
  • Substituindo f'(u)=\cos(u) com u=g(x) e g'(x)=4-4x, obtemos h'(x)=\cos\big(g(x)\big)\cdot(4-4x).
  • Reescrevendo g(x) em termos de x, h'(x)=\cos\!\left(4x-2x^{2}\right)\cdot(4-4x).
  • Opcional: fatorando 4, h'(x)=4(1-x)\cos\!\left(4x-2x^{2}\right).

Passo 6

Resumo prático para a prova (dica amiga):
  • Identifique rapidamente a parte interna ( 4x-2x^{2}) e a externa ( \operatorname{sen}(\cdot)).
  • Use a regra da cadeia: derive a externa em relação ao seu argumento e multiplique pela derivada da interna.
  • Resultado final bem arrumado pode ajudar a evitar erros de sinal: 4(1-x)\cos(4x-2x^{2}).
Força aí — você já sabe exatamente como proceder se aparecer outra função do tipo \operatorname{sen}(\text{algo}) na prova!

Resposta

h'(x)=4(1-x)\cos\!\left(4x-2x^{2}\right)

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