Calcule as derivadas das seguintes funções:
G(x)=\sqrt{1+x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função G(x)=\sqrt{1+x^{3}}.
Informações dadas:
  • A função é G(x)=\sqrt{1+x^{3}}.
  • A tarefa é encontrar G'(x), a taxa de variação da função em termos de x.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a função de forma que fique mais fácil aplicar regras de derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como potência de expoente 1/2. Assim:
G(x) = (1+x^{3})^{\tfrac{1}{2}}.
Isso mostra que G é uma composição de funções: uma função externa f(u)=u^{\tfrac{1}{2}} aplicada à função interna u(x)=1+x^{3}.

Passo 3

Vamos lembrar da regra que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte para uma composição h(x)=f(g(x)):
h'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui:
  • f é a função externa (a que olha o resultado da interna),
  • g é a função interna (a que depende diretamente de x),
  • f'(g(x)) significa derivar f em termos de sua variável e depois substituir g(x),
  • g'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Exemplo rápido e simples (didático): se f(u)=u^{\tfrac{1}{2}}, então
f'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-\tfrac{1}{2}}.
E se u(x)=1+x^{3}, então
u'(x)=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia à nossa função. Identificamos:
f(u)=u^{\tfrac{1}{2}},\qquad u(x)=1+x^{3}.
Derivadas individuais (já calculadas no passo anterior):
f'(u)=\tfrac{1}{2}u^{-\tfrac{1}{2}},\qquad u'(x)=3x^{2}.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
G'(x)=f'(u(x))\cdot u'(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+x^{3}\bigr)^{-\tfrac{1}{2}}\cdot 3x^{2}.

Passo 5

Simplificamos a expressão obtida:
  • Multiplicando as constantes \tfrac{1}{2} e 3 \tfrac{3}{2}.
  • Reescrevendo a potência negativa como raiz: \bigl(1+x^{3}\bigr)^{-\tfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{3}}}.
Portanto a forma simplificada da derivada é
G'(x)=\dfrac{3x^{2}}{2\sqrt{1+x^{3}}}.

Passo 6

Observações úteis para a prova (dicas práticas):
  • Passos rápidos que funcionam sempre: (1) reescrever como potência, (2) identificar função externa e interna, (3) derivar cada uma, (4) aplicar a regra da cadeia, (5) simplificar.
  • Tenha atenção ao domínio: \sqrt{1+x^{3}} exige 1+x^{3}\ge 0. Como a função cúbica é estritamente crescente, isso equivale a x\ge -1. A derivada encontrada está definida para x>-1 (em x=-1 o denominador vira zero e não há derivada finita).
  • Exemplo rápido similar para treinar: se H(x)=\sqrt{5x+2}, use a mesma ideia e obterá H'(x)=\dfrac{5}{2\sqrt{5x+2}}.

Passo 7

Você conseguiu! Siga os passos que mostrei na prova: reescrever, identificar, derivar e simplificar — funciona para quase todas as composições com raiz ou potências fracionárias. Vai dar certo!

Resposta

G'(x)=\dfrac{3x^{2}}{2\sqrt{1+x^{3}}}

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