Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa é encontrar
, a taxa de variação da função em termos de .
Passo 2
Primeiro reescrevemos a função de forma que fique mais fácil aplicar regras de derivação. A raiz quadrada pode ser escrita como potência de expoente
. Assim:
Isso mostra que
é uma composição de funções: uma função externa
aplicada à função interna
.
Passo 3
Vamos lembrar da regra que vamos usar: a regra da cadeia. Ela diz o seguinte para uma composição
:
Aqui:
-
é a função externa (a que olha o resultado da interna), -
é a função interna (a que depende diretamente de ), -
significa derivar em termos de sua variável e depois substituir , -
é a derivada da função interna em relação a .
Exemplo rápido e simples (didático): se
, então
E se
, então
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia à nossa função. Identificamos:
Derivadas individuais (já calculadas no passo anterior):
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Passo 5
Simplificamos a expressão obtida:
- Multiplicando as constantes
e dá . - Reescrevendo a potência negativa como raiz:
.
Portanto a forma simplificada da derivada é
Passo 6
Observações úteis para a prova (dicas práticas):
- Passos rápidos que funcionam sempre: (1) reescrever como potência, (2) identificar função externa e interna, (3) derivar cada uma, (4) aplicar a regra da cadeia, (5) simplificar.
- Tenha atenção ao domínio:
exige . Como a função cúbica é estritamente crescente, isso equivale a . A derivada encontrada está definida para (em o denominador vira zero e não há derivada finita). - Exemplo rápido similar para treinar: se
, use a mesma ideia e obterá .
Passo 7
Você conseguiu! Siga os passos que mostrei na prova: reescrever, identificar, derivar e simplificar — funciona para quase todas as composições com raiz ou potências fracionárias. Vai dar certo!