Calcule as derivadas das seguintes funções:
F(x)=\cos \left(2+x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função
F(x)=\cos\!\left(2+x^{3}\right)
e pede que se calcule a derivada de F, ou seja, F'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma composição: uma função cosseno aplicada à expressão 2+x^{3}.
  • A expressão interior é a soma de uma constante 2 e a potência x^{3}.

Passo 2

Identificar a estrutura da função para aplicar a regra adequada: aqui há uma composição do tipo F(x)=f(u(x)) com
f(u)=\cos(u)\qquad\text{e}\qquad u(x)=2+x^{3}.
É útil escrever assim porque a ferramenta principal será a regra da cadeia (derivada de uma composição).

Passo 3

Apresentar e explicar a regra da cadeia. Se F(x)=f(u(x)), então a regra da cadeia diz que
F'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
O que isso significa, em palavras: primeiro calcula-se a derivada da função externa f em termos da variável u (isso dá f'(u)), depois multiplica-se pelo derivado da expressão interna u(x). Aqui cada símbolo:
  • f'(u) é a derivada de f em relação à sua variável u.
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x.
  • O produto dá a taxa total de variação de F em relação a x.

Passo 4

Derivada da função externa: para f(u)=\cos(u) a derivada em relação a u é
f'(u)=-\sin(u).
Explicando: a derivada do cosseno é menos o seno da mesma entrada. Ou seja, ao derivar \cos(\cdot) trazemos um sinal negativo e trocamos para \sin(\cdot).

Passo 5

Derivar a função interna u(x)=2+x^{3}. Usar regras básicas:
  • A derivada de uma constante é zero: \dfrac{d}{dx}2=0.
  • A derivada de x^{3} é 3x^{2} (regra do poder: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}).
    Portanto
u'(x)=0+3x^{2}=3x^{2}.

Passo 6

Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos 4 e 5. Usando f'(u)=-\sin(u) e u'(x)=3x^{2}, obtemos
F'(x)=f'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = -\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot 3x^{2}.
Substituindo u(x)=2+x^{3} resulta em
F'(x)=-3x^{2}\,\sin\bigl(2+x^{3}\bigr).
Pequena observação de estilo: é comum escrever o coeficiente multiplicando na frente, por isso a forma -3x^{2}\sin(2+x^{3}).

Passo 7

Exemplo numérico rápido para conferir a ideia (apenas para praticar): o valor da derivada em x=1 é
F'(1)=-3\cdot 1^{2}\sin\bigl(2+1^{3}\bigr)=-3\sin(3).
Isso mostra como usar a fórmula para avaliar a derivada em um ponto.

Resposta

-3x^{2}\sin\bigl(2+x^{3}\bigr)

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