Calcule as derivadas das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que se calcule a derivada de
, ou seja,
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma composição: uma função cosseno aplicada à expressão
. - A expressão interior é a soma de uma constante
e a potência .
Passo 2
Identificar a estrutura da função para aplicar a regra adequada: aqui há uma composição do tipo
com
É útil escrever assim porque a ferramenta principal será a regra da cadeia (derivada de uma composição).
Passo 3
Apresentar e explicar a regra da cadeia. Se
, então a regra da cadeia diz que
O que isso significa, em palavras: primeiro calcula-se a derivada da função externa
em termos da variável
(isso dá
), depois multiplica-se pelo derivado da expressão interna
. Aqui cada símbolo:
-
é a derivada de em relação à sua variável . -
é a derivada de em relação a . - O produto dá a taxa total de variação de
em relação a .
Passo 4
Derivada da função externa: para
a derivada em relação a
é
Explicando: a derivada do cosseno é menos o seno da mesma entrada. Ou seja, ao derivar
trazemos um sinal negativo e trocamos para
.
Passo 5
Derivar a função interna
. Usar regras básicas:
- A derivada de uma constante é zero:
. - A derivada de
é (regra do poder: ).
Portanto
Passo 6
Aplicar a regra da cadeia combinando os resultados dos passos 4 e 5. Usando
e
, obtemos
Substituindo
resulta em
Pequena observação de estilo: é comum escrever o coeficiente multiplicando na frente, por isso a forma
.
Passo 7
Exemplo numérico rápido para conferir a ideia (apenas para praticar): o valor da derivada em
é
Isso mostra como usar a fórmula para avaliar a derivada em um ponto.