Em cada item, escreva as integrais iteradas nas duas ordens de integração e calcule-as (você pode escolher a ordem mais fácil para calcular).
integral duplaR x y d A, em que R é a região limitada pelas curvas y=x^2 e y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaR x,y ,dA
onde R é a região limitada pelas curvas y = x^2 e y = 3x. Para isso, vamos primeiro encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas, depois escrever as integrais iteradas em ambas as ordens de integração e, por fim, calcular o valor numérico da integral.

Passo 2

As curvas se interceptam quando
x^2 = 3x Longrightarrow x(x-3)=0 Longrightarrow x=0 ou x=3
Isso gera os pontos (0,0) e (3,9). Na faixa entre x=0 e x=3, a curva y=x^2 fica abaixo de y=3x, definindo claramente a região R.

Passo 3

Integral na ordem dy,dx:
integral duplaR x,y ,dA =integralx=0^3,l(integraly=x^2^3x x,y ,dyr),dx

Passo 4

Integral na ordem dx,dy:
integral duplaR x,y ,dA =integraly=0^9,l(integralx=y/3^raizy x,y ,dxr),dy,
pois, para y entre 0 e 9, a abscissa x vai de x=tfracy3 (da reta) até x=raizy (da parábola).

Passo 5

Vamos calcular escolhendo a ordem dy,dx, que é mais direta.
Inner:
integraly=x^2^3x x,y ,dy = x;l[tfracy^22r]y=x^2^y=3x = tfracx2l((3x)^2 - (x^2)^2r) = tfrac12l(9x^3-x^5r)
Outer:
integral0^3!tfrac12l(9x^3-x^5r),dx = tfrac12l[9cdottfracx^44-tfracx^66r]0^3 = tfrac12l(tfrac9cdot814-tfrac7296r) = tfrac12l(tfrac7294-tfrac7296r) = tfrac72924 = tfrac2438

Resposta

2438

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