Questão 4
Usando o conceito de integral tripla, calcule o volume do sólido definido por:
a) x^2+y^2+z^2 <= 1.
b) [(x^2+y^2) / a^2]+z^2 >= 1 e x^2+y^2+z^2 <= 1, onde 0<a <= 1 é uma constante. [Sugestão: use a resposta ao item anterior e propriedades da integração.]
^1 Folha com quatro questões (justifique todas as respostas). Docente: Edisom Moreira (IMCUNIFEI). Maio de 2025.

Passo 1

O enunciado pede o volume de dois sólidos usando integral tripla. No item (a) é a bola unitária x^2+y^2+z^2<=1. No item (b) é a parte da bola unitária que fica fora do elipsóide
x^2+y^2a^2+z^2<=1,
ou seja
x^2+y^2a^2+z^2>=1 e x^2+y^2+z^2<=1
Para (a) vamos usar coordenadas esféricas; para (b) vamos aproveitar o resultado de (a) e uma transformação de escala.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com rhoin[0,1], phiin[0,pi] e thetain[0,2pi]. O elemento de volume é rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. Então
Vbola =integral0^2pi!integral0^pi!integral0^1rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta =2pi!integral0^pisinphi,dphi!integral0^1rho^2drho =2picdot2cdot13 =4pi3

Passo 3

Para o elipsóide
x^2+y^2a^2+z^2<=1
fazemos a mudança de variáveis u=x/a, v=y/a, w=z. Nesse mapeamento o jacobiano vale l|det Jr|=a^2. O domínio (u,v,w)mid u^2+v^2+w^2<=1 é a bola unitária no espaço (u,v,w), cujo volume já descobrimos ser 4pi/3. Logo o volume do elipsóide é
Velipsóide =a^2cdot4pi3 =4pi3,a^2 ó

Passo 4

O sólido do item (b) é a região dentro da bola unitária mas fora do elipsóide, então seu volume é
V(b) =Vbola-Velipsóide =4pi3-4pi3,a^2 =4pi3l(1-a^2r) ó

Resposta

(a) 4pi3\n
(b) 4pi3l(1-a^2r)

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