Questão 4
Usando o conceito de integral tripla, calcule o volume do sólido definido por:
a) .
b) e , onde é uma constante. [Sugestão: use a resposta ao item anterior e propriedades da integração.] Folha com quatro questões (justifique todas as respostas). Docente: Edisom Moreira (IMCUNIFEI). Maio de 2025.
Passo 1
O enunciado pede o volume de dois sólidos usando integral tripla. No item (a) é a bola unitária . No item (b) é a parte da bola unitária que fica fora do elipsóide
ou seja
Para (a) vamos usar coordenadas esféricas; para (b) vamos aproveitar o resultado de (a) e uma transformação de escala.
Passo 2
Em coordenadas esféricas definimos
com , e . O elemento de volume é . Então
Passo 3
Para o elipsóide
fazemos a mudança de variáveis , , . Nesse mapeamento o jacobiano vale . O domínio (u,v,w)mid u^2+v^2+w^2<=1 é a bola unitária no espaço (u,v,w), cujo volume já descobrimos ser 4pi/3. Logo o volume do elipsóide é
Velipsóide =a^2cdot4pi3 =4pi3,a^2 ó
Passo 4
O sólido do item (b) é a região dentro da bola unitária mas fora do elipsóide, então seu volume é
V(b) =Vbola-Velipsóide =4pi3-4pi3,a^2 =4pi3l(1-a^2r) ó