Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
(b) f:(0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=x(\ln x)^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
f:(0,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=x(\ln x)^{2}.
O conteúdo principal aqui é teste de derivada: vamos calcular f'(x), achar pontos críticos e usar o sinal de f' para classificar cada ponto como mínimo ou máximo local.

Passo 2

Usamos a regra do produto na função f(x)=x\cdot(\ln x)^{2}. Primeiro derivamos cada fator separadamente e somamos os resultados:
f'(x) =\frac{d}{dx}[\,x\,]\cdot(\ln x)^{2} + x\cdot\frac{d}{dx}[(\ln x)^{2}].
Sabendo que \frac{d}{dx}[x]=1 e \frac{d}{dx}[(\ln x)^{2}]=2\ln x\cdot\frac{1}{x}, obtemos
f'(x)=(\ln x)^{2}+2\ln x.
Fatorando esse resultado,
f'(x)=\ln x\,\bigl(\ln x+2\bigr).

Passo 3

Para encontrar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
\ln x=0\quad\Longrightarrow\quad x=1,
\ln x+2=0\quad\Longrightarrow\quad \ln x=-2\quad\Longrightarrow\quad x=e^{-2}.
Logo, os candidatos a extremos são x=e^{-2} e x=1, ambos pertencentes ao domínio (0,\infty).

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=\ln x\,(\ln x+2):
  • Se 0<x<e^{-2}, então \ln x<-2 e \ln x+2<0, de modo que f'>0.
  • Se e^{-2}<x<1, então -2<\ln x<0, logo \ln x<0 e \ln x+2>0, dando f'<0.
  • Se x>1, então \ln x>0 e \ln x+2>0, logo f'>0.
Com isso vemos que em x=e^{-2} a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local, e em x=1 muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. Além disso,
f(e^{-2})=e^{-2}\bigl(\ln(e^{-2})\bigr)^{2} =e^{-2}\,(-2)^{2} =4e^{-2},
f(1)=1\cdot(\ln1)^{2}=0.

Resposta

Máximo local em x=e^{-2}, com valor f(e^{-2})=4e^{-2}.
Mínimo local em x=1, com valor f(1)=0.

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