Em cada item encontre, se existirem, os extremos locais da função dada
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os extremos locais da função
O conteúdo principal aqui é teste de derivada: vamos calcular
, achar pontos críticos e usar o sinal de
para classificar cada ponto como mínimo ou máximo local.
Passo 2
Usamos a regra do produto na função
. Primeiro derivamos cada fator separadamente e somamos os resultados:
Sabendo que
e
, obtemos
Fatorando esse resultado,
Passo 3
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
:
Logo, os candidatos a extremos são
e
, ambos pertencentes ao domínio
.
Passo 4
Estudamos o sinal de
:
- Se
, então e , de modo que . - Se
, então , logo e , dando . - Se
, então e , logo .
Com isso vemos que em
a derivada muda de positiva para negativa, caracterizando um máximo local, e em
muda de negativa para positiva, caracterizando um mínimo local. Além disso,
Resposta
Máximo local em
, com valor
.
Mínimo local em , com valor
.
Mínimo local em