Para cada item, dê um exemplo de uma função afim f, apresentando a expressão do tipo f(x)= a x+b, dado que:
A taxa de variação média é -0,3.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê um exemplo de uma função afim do tipo \,f(x)=ax+b\, tal que a taxa de variação média é -0,3.
Informações dadas: a taxa de variação média vale -0,3. Não há outras restrições (por exemplo, nenhum intervalo ou valor de b imposto).

Passo 2

O que é uma função afim e o que representam a e b.
Uma função afim tem a forma \,f(x)=ax+b\,.
  • \,a\, é a inclinação (também chamada de coeficiente angular ou taxa de variação) — ela diz quanto f(x) muda quando x aumenta de uma unidade.
  • \,b\, é o termo constante (intercepto) — é o valor de \,f(x)\, quando \,x=0.
    Vou explicar isso devagar: se a=2, por exemplo, cada vez que x aumenta 1, f(x) aumenta 2; se a=-1, cada aumento de 1 em x diminui f(x) em 1.

Passo 3

Definição da taxa de variação média e como usar no exame.
A taxa de variação média de uma função f entre dois pontos x_1 e x_2 é
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Na prova, se pedirem a taxa média entre dois pontos, aplicamos essa fórmula: diferença dos valores de f dividida pela diferença dos x. É como calcular a “inclinação média” entre dois pontos do gráfico.

Passo 4

Por que, no caso de função afim, a taxa de variação média é igual a a.
Se f(x)=ax+b, calculemos a taxa média entre x_1 e x_2:
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{(a x_2+b)-(a x_1+b)}{x_2-x_1}=\frac{a(x_2-x_1)}{x_2-x_1}=a.
Portanto, para qualquer intervalo a taxa média é sempre igual a a. Isso é uma propriedade fundamental e muito útil na prova: em funções afins a taxa média não depende do intervalo.

Passo 5

Escolhendo uma função cujo valor de a seja -0,3 e verificando.
Como a taxa de variação média pedida é -0,3, basta escolher \,a=-0,3\,. O valor de b pode ser qualquer número real; escolho um número simples, por exemplo \,b=2\,. Assim proponho a função
f(x)=-0,3x+2.
Vamos verificar rapidamente a conta com um exemplo de intervalo: pegue x_1=0 e x_2=5. Então
f(0)=2,\qquad f(5)=-0,3\cdot 5+2=-1,5+2=0,5,
e a taxa média é
\frac{f(5)-f(0)}{5-0}=\frac{0,5-2}{5}=\frac{-1,5}{5}=-0,3,
como queríamos. Então a função proposta realmente tem taxa de variação média -0,3.

Resposta

f(x)=-0,3x+2

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