Ex. 3:

Estabelecer a equação geral do plano mediador do segmento A B, dados A(2,-1,4) e B (4, -3, -2).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano mediador do segmento AB, ou seja, o plano que é perpendicular ao segmento AB e passa pelo ponto médio de AB. O conteúdo utilizado será geometria analítica em R^3: vamos encontrar o vetor diretor de AB, o ponto médio M e impor a condição de perpendicularidade.

Passo 2

Calcular o vetor AB e o ponto médio M:
AB = B - A = (4-2,,-3-(-1),,-2-4) = (2,-2,-6)
M = l(2+42,,-1+(-3)2,,4+(-2)2r) = (3,-2,1)

Passo 3

O plano mediador é formado por todos os pontos P=(x,y,z) tais que o vetor PM é ortogonal a AB. Isso dá
PMcdotAB=0 Longrightarrow ( x-3,;y+2,;z-1)cdot(2,-2,-6)=0
2(x-3)-2(y+2)-6(z-1)=0

Passo 4

Expandindo e coletando termos:
2x-6 -2y-4 -6z+6 = 0 Longrightarrow 2x -2y -6z -4 = 0 Longrightarrow 2x -2y -6z = 4
Dividindo por 2 obtém-se a forma mais simples:
x - y - 3z = 2

Resposta

A equação geral do plano mediador de AB é
2x - 2y - 6z = 4,
equivalentemente
x - y - 3z = 2

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