Em cada item, faça um esboço do conjunto A e calcule sua área:
A é o conjunto do plano tal que 0 \leq y \leq 4-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede dois itens: (1) fazer um esboço do conjunto A e (2) calcular a área de A.
As informações dadas são a descrição do conjunto:
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 0 \leq y \leq 4-x^{2}\}.
Ou seja, A é o conjunto de pontos do plano cuja coordenada y está entre 0 e 4-x^{2}, inclusive. Não há outras condições no enunciado.

Passo 2

Identificar as curvas que limitam a região e os pontos-chave. As duas curvas/retas que aparecem são:
y=0
(eixo x, limite inferior) e
y=4-x^{2}
(parábola invertida, limite superior).
Vamos achar os pontos onde a parábola corta o eixo x (esses serão os extremos em x da região). Resolver
4-x^{2}=0
implica
x^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
A parábola tem vértice em x=0; o valor de y no vértice é
y(0)=4-0^{2}=4,
logo o vértice é o ponto (0,4). Portanto os pontos importantes são (-2,0), (0,4) e (2,0).

Passo 3

Como esboçar o conjunto A (descrição passo a passo para você desenhar na prova):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (-2,0) e (2,0) no eixo x e o ponto (0,4) no eixo y.
  3. Desenhe a parábola voltada para baixo passando por esses três pontos (equação y=4-x^{2}).
  4. A região A é a parte do plano entre essa parábola (por cima) e o eixo x (por baixo), para -2\le x\le 2. Pinte/ sombreie essa “cúpula” sob a parábola e acima do eixo x. Lembre-se que as desigualdades são inclusivas ( \le), então as fronteiras estão incluídas.

Passo 4

Montar a expressão para a área. Regra (explicação curta e intuitiva): se uma região é limitada superiormente por y=f(x) e inferiormente por y=g(x) em a\le x\le b e f(x)\ge g(x), então a área é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui f(x)=4-x^{2} (topo) e g(x)=0 (base), e os limites em x são a=-2 e b=2 (obtidos no Passo 2). Assim:
\text{Área}(A)=\int_{-2}^{2}\bigl(4-x^{2}-0\bigr)\,dx=\int_{-2}^{2}\bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de 4-x^{2}. Sabendo que a primitiva de 4 é 4x e a primitiva de x^{2} é \dfrac{x^{3}}{3}, temos:
\int (4-x^{2})\,dx=4x-\dfrac{x^{3}}{3}+C.
Agora avaliamos entre -2 e 2:
\text{Área}(A)=\Bigl[4x-\dfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{-2}^{2}.Á
Calcule o valor em x=2:
4\cdot 2-\dfrac{2^{3}}{3}=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{24-8}{3}=\dfrac{16}{3}.
Calcule o valor em x=-2:
4\cdot(-2)-\dfrac{(-2)^{3}}{3}=-8-\dfrac{-8}{3}=-8+\dfrac{8}{3}=\dfrac{-24+8}{3}=\dfrac{-16}{3}.
Subtraindo:
\text{Área}(A)=\dfrac{16}{3}-\Bigl(-\dfrac{16}{3}\Bigr)=\dfrac{32}{3}.Á

Passo 6

Verificação alternativa (uso da simetria): a função 4-x^{2} é par, a região é simétrica em relação ao eixo y. Podemos calcular
\text{Área}(A)=2\int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dx.Á
A integral de 0 a 2 8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3} (como no Passo 5), e multiplicando por 2 obtemos novamente \dfrac{32}{3}. Então o resultado está consistente.

Resposta

Esboço: região limitada acima por y=4-x^{2} e abaixo por y=0, com vértice em (0,4) e interceptos em (-2,0) e (2,0); é a “cúpula” sob a parábola para -2\le x\le 2.
Área: \text{Área}(A)=\dfrac{32}{3}Á.

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