Em cada item, faça um esboço do conjunto
e calcule sua área:
é o conjunto do plano tal que
.
Passo 1
O enunciado pede dois itens: (1) fazer um esboço do conjunto
e (2) calcular a área de
.
As informações dadas são a descrição do conjunto:
As informações dadas são a descrição do conjunto:
Ou seja,
é o conjunto de pontos do plano cuja coordenada
está entre
e
, inclusive. Não há outras condições no enunciado.
Passo 2
Identificar as curvas que limitam a região e os pontos-chave. As duas curvas/retas que aparecem são:
(eixo
, limite inferior) e
(parábola invertida, limite superior).
Vamos achar os pontos onde a parábola corta o eixo
(esses serão os extremos em
da região). Resolver
implica
A parábola tem vértice em
; o valor de
no vértice é
logo o vértice é o ponto
. Portanto os pontos importantes são
,
e
.
Passo 3
Como esboçar o conjunto
(descrição passo a passo para você desenhar na prova):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os pontos
e no eixo e o ponto no eixo . - Desenhe a parábola voltada para baixo passando por esses três pontos (equação
). - A região
é a parte do plano entre essa parábola (por cima) e o eixo (por baixo), para . Pinte/ sombreie essa “cúpula” sob a parábola e acima do eixo . Lembre-se que as desigualdades são inclusivas ( ), então as fronteiras estão incluídas.
Passo 4
Montar a expressão para a área. Regra (explicação curta e intuitiva): se uma região é limitada superiormente por
e inferiormente por
em
e
, então a área é
Aqui
(topo) e
(base), e os limites em
são
e
(obtidos no Passo 2). Assim:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de
. Sabendo que a primitiva de
é
e a primitiva de
é
, temos:
Agora avaliamos entre
e
:
Calcule o valor em
:
Calcule o valor em
:
Subtraindo:
Passo 6
Verificação alternativa (uso da simetria): a função
é par, a região é simétrica em relação ao eixo
. Podemos calcular
A integral de
a
dá
(como no Passo 5), e multiplicando por
obtemos novamente
. Então o resultado está consistente.
Resposta
Esboço: região limitada acima por
e abaixo por
, com vértice em
e interceptos em
e
; é a “cúpula” sob a parábola para
.
Área: .
Área: