Determine o valor da área da região limitada pelas curvas dadas a seguir:
f(x)=\sqrt{x}, \quad g(x)=x^{2}

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas f(x)=\sqrt{x} e g(x)=x^{2}.\n
Informações dadas:\n
  • A função f é f(x)=\sqrt{x}.\n
  • A função g é g(x)=x^{2}.\n
    O que precisamos achar: os pontos de interseção das duas curvas para delimitar o intervalo de integração e, em seguida, calcular a área da região limitada por elas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção resolvendo a equação
\sqrt{x}=x^{2}.
Explicando a ideia: os pontos de interseção são os x para os quais os valores das duas funções coincidem. Como \sqrt{x} está definida para x\ge0, só procuramos soluções em x\ge0. Para resolver, escrevemos a equação em potências:
x^{1/2}=x^{2}.
Subtraindo um lado:
x^{2}-x^{1/2}=0.
Fatorando x^{1/2} (já que x^{1/2} é comum):
x^{1/2}\bigl(x^{3/2}-1\bigr)=0.
Portanto, as soluções ocorrem quando x^{1/2}=0 ou x^{3/2}=1. Assim:
x^{1/2}=0 \Rightarrow x=0,
x^{3/2}=1 \Rightarrow x=1.
Logo, os pontos de interseção são x=0 e x=1.

Passo 3

Determinar qual curva está acima da outra no intervalo de interesse [0,1].\n
Explicação do método: para saber qual é a função “topo” (maior) e qual é a “base” (menor) numa dada abscissa, basta comparar os valores de cada função em um ponto do intervalo interior ou analisar o sinal da diferença f(x)-g(x).\n
Escolhemos um ponto simples, por exemplo x=\tfrac{1}{4}. Calculamos:
f\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\tfrac{1}{2},
g\!\left(\tfrac{1}{4}\right)=\left(\tfrac{1}{4}\right)^{2}=\tfrac{1}{16}.
Como \tfrac{1}{2}>\tfrac{1}{16}, temos f(x)>g(x) em x=\tfrac{1}{4}. As duas funções trocam de lugar somente nos pontos de interseção, então concluímos que em todo o intervalo aberto (0,1) a função f(x)=\sqrt{x} está acima de g(x)=x^{2}. Portanto, a área entre as curvas é dada por integrar f(x)-g(x) de 0 a 1.

Passo 4

Explicar por que a área entre curvas é a integral da diferença.\n
Se temos duas funções contínuas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) com y_{\text{top}}(x)\ge y_{\text{bot}}(x) em um intervalo [a,b], a área da região entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Intuição: em cada fatia vertical de largura dx, a altura dessa fatia é y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bot}}(x); somando (integrando) essas áreas elementares obtemos a área total.
No nosso caso:
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo usando a regra do poder (power rule) para primitivas.\n
Regra do poder: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui aplicamos para x^{1/2} (onde n=\tfrac{1}{2}) e para x^{2} (onde n=2). As primitivas são:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2},
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto, uma primitiva da diferença é
F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}.

Passo 6

Avaliar a integral definida de 0 a 1 usando a primitiva encontrada.\n
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\text{Área}=\left[\,\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^{3}\,\right]_{0}^{1}.Á
Calculemos em x=1:
\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}-\frac{1}{3}\cdot 1^{3}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.
Calculemos em x=0:
\frac{2}{3}\cdot 0^{3/2}-\frac{1}{3}\cdot 0^{3}=0.
Subtraindo,
\text{Área}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}.Á

Resposta

\tfrac{1}{3}

Exercícios relacionados