Determine o valor da área da região limitada pelas curvas dadas a seguir:
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- A função
é .\n - A função
é .\n
O que precisamos achar: os pontos de interseção das duas curvas para delimitar o intervalo de integração e, em seguida, calcular a área da região limitada por elas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção resolvendo a equação
Explicando a ideia: os pontos de interseção são os
para os quais os valores das duas funções coincidem. Como
está definida para
, só procuramos soluções em
. Para resolver, escrevemos a equação em potências:
Subtraindo um lado:
Fatorando
(já que
é comum):
Portanto, as soluções ocorrem quando
ou
. Assim:
Logo, os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima da outra no intervalo de interesse
.\n
Explicação do método: para saber qual é a função “topo” (maior) e qual é a “base” (menor) numa dada abscissa, basta comparar os valores de cada função em um ponto do intervalo interior ou analisar o sinal da diferença .\n
Escolhemos um ponto simples, por exemplo . Calculamos:
Explicação do método: para saber qual é a função “topo” (maior) e qual é a “base” (menor) numa dada abscissa, basta comparar os valores de cada função em um ponto do intervalo interior ou analisar o sinal da diferença
Escolhemos um ponto simples, por exemplo
Como
, temos
em
. As duas funções trocam de lugar somente nos pontos de interseção, então concluímos que em todo o intervalo aberto
a função
está acima de
. Portanto, a área entre as curvas é dada por integrar
de
a
.
Passo 4
Explicar por que a área entre curvas é a integral da diferença.\n
Se temos duas funções contínuas e
com
em um intervalo
, a área da região entre elas é
Se temos duas funções contínuas
Intuição: em cada fatia vertical de largura
, a altura dessa fatia é
; somando (integrando) essas áreas elementares obtemos a área total.
No nosso caso:
Passo 5
Calcular a integral passo a passo usando a regra do poder (power rule) para primitivas.\n
Regra do poder: para ,
Regra do poder: para
Aqui aplicamos para
(onde
) e para
(onde
). As primitivas são:
Portanto, uma primitiva da diferença é
Passo 6
Avaliar a integral definida de
a
usando a primitiva encontrada.\n
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Calculemos em
:
Calculemos em
:
Subtraindo,