Calcule as seguintes integrais definidas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
Não há outras condições ou parâmetros; o objetivo é obter o valor numérico exato da integral.
Passo 2
Vamos usar a fórmula da integração por partes. Primeiro uma mini-aula: a fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, então
Integrando ambos os lados de
até
e rearranjando obtemos a fórmula da integração por partes:
Aqui
é a função que escolhemos para derivar (virará
) e
é a parte que integramos para obter
. A escolha de
e
costuma ser feita de forma que
seja mais simples que
e que
seja integrável facilmente.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso, escolhemos
Explico o motivo: derivar
simplifica para
, enquanto integrar
é simples. Calculamos
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula da integração por partes para os limites
e
:
Avaliaremos o termo de fronteira:
Logo
Passo 5
Precisamos calcular
. Repetimos integração por partes com
Então
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Simplificando os sinais:
Agora avaliamos os termos separadamente. Para o termo de fronteira:
Para a integral de
:
Portanto
Passo 7
Voltando à expressão obtida no Passo 4:
Distribuindo o
:
Agrupando termos semelhantes: