Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{1} x^{2} \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(x)\,dx.
Informações dadas:
\text{domínio: }[0,1],\qquad \text{integrando: }x^{2}\cos(x).í
Não há outras condições ou parâmetros; o objetivo é obter o valor numérico exato da integral.

Passo 2

Vamos usar a fórmula da integração por partes. Primeiro uma mini-aula: a fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então
\big(u(x)v(x)\big)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados de a até b e rearranjando obtemos a fórmula da integração por partes:
\int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\,dx = \big[u(x)v(x)\big]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\,dx.
Aqui u é a função que escolhemos para derivar (virará u') e v' é a parte que integramos para obter v. A escolha de u e v' costuma ser feita de forma que u' seja mais simples que u e que v seja integrável facilmente.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso, escolhemos
u(x)=x^{2},\qquad v'(x)=\cos(x).
Explico o motivo: derivar x^{2} simplifica para 2x, enquanto integrar \cos(x) é simples. Calculamos
u'(x)=2x,\qquad v(x)=\int \cos(x)\,dx=\sin(x).

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula da integração por partes para os limites 0 e 1:
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(x)\,dx = \big[x^{2}\sin(x)\big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} 2x\sin(x)\,dx.
Avaliaremos o termo de fronteira:
\big[x^{2}\sin(x)\big]_{0}^{1} = 1^{2}\sin(1) - 0^{2}\sin(0) = \sin(1).
Logo
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(x)\,dx = \sin(1) - 2\int_{0}^{1} x\sin(x)\,dx.

Passo 5

Precisamos calcular \int_{0}^{1} x\sin(x)\,dx. Repetimos integração por partes com
u(x)=x,\qquad v'(x)=\sin(x).
Então
u'(x)=1,\qquad v(x)=\int \sin(x)\,dx = -\cos(x).

Passo 6

Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{1} x\sin(x)\,dx = \big[-x\cos(x)\big]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} (-\cos(x))\cdot 1\,dx.
Simplificando os sinais:
\int_{0}^{1} x\sin(x)\,dx = \big[-x\cos(x)\big]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \cos(x)\,dx.
Agora avaliamos os termos separadamente. Para o termo de fronteira:
\big[-x\cos(x)\big]_{0}^{1} = -1\cdot\cos(1) - \big(0\cdot\cos(0)\big) = -\cos(1).
Para a integral de \cos:
\int_{0}^{1} \cos(x)\,dx = \big[\sin(x)\big]_{0}^{1} = \sin(1)-\sin(0) = \sin(1).
Portanto
\int_{0}^{1} x\sin(x)\,dx = -\cos(1) + \sin(1).

Passo 7

Voltando à expressão obtida no Passo 4:
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(x)\,dx = \sin(1) - 2\big(\,-\cos(1) + \sin(1)\big).
Distribuindo o -2:
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(x)\,dx = \sin(1) + 2\cos(1) - 2\sin(1).
Agrupando termos semelhantes:
\int_{0}^{1} x^{2}\cos(x)\,dx = 2\cos(1) - \sin(1).

Resposta

2\cos(1) - \sin(1)

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