Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com velocidade
.
(a) Calcule o deslocamento entre os instantes
e
.
(b) Determine o espaço percorrido entre os instantes
e
.
(a) Calcule o deslocamento entre os instantes
(b) Determine o espaço percorrido entre os instantes
Passo 1
Dados fornecidos:
- A velocidade da partícula é
, para .
Pedidos: - (a) Calcular o deslocamento entre os instantes
e . - (b) Determinar o espaço (distância total percorrida) entre os instantes
e .
Passo 2
O que é deslocamento em termos de velocidade?
- Deslocamento entre dois instantes
e é a integral definida da velocidade:
Por que isso? Porque a velocidade é a derivada do espaço
:
. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
. Então, para resolver (a) vamos calcular a integral de
entre
e
.
Passo 3
Encontrar uma primitiva de
.
- Para integrar
usamos regras básicas: e . - Logo, uma primitiva é
Aplicando a integral definida de
a
:
Calcule
e
:
Portanto
Isto significa que o deslocamento entre
e
é
(unidades de comprimento).
Passo 4
O que é espaço percorrido (distância total)?
- Espaço percorrido é a integral do valor absoluto da velocidade (daí usamos a velocidade em módulo, chamada de rapidez):
. - Na prática, precisamos identificar onde
muda de sinal no intervalo e dividir a integral nesses subintervalos, porque é quando e quando .
Passo 5
Achar onde
zera no intervalo.
- Resolva
.
Esse ponto está dentro do intervalo
. Verificação do sinal:
- Para
em : escolha , (negativo). - Para
em : escolha , (positivo).
Então devemos dividir a integral em
e
.
Passo 6
Calcular o espaço percorrido quebrando a integral:
Usamos a mesma primitiva
.
Calcule a primeira integral:
Avalie
em frações para ficar exato:
,
E já calculamos
. Então
Com o sinal negativo externo:
(Em decimal é
.)
Passo 7
Calcular a segunda integral:
Usamos
e
, então
(Em decimal é
.)
Passo 8
Somando as duas contribuições obtemos o espaço total percorrido:
Em decimal,
.
Resposta
(a)
(b)
(b)