Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v(t)=2 t-3, t \geq 0.
(a) Calcule o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3.
(b) Determine o espaço percorrido entre os instantes t=1 e t=3.

Passo 1

Dados fornecidos:
  • A velocidade da partícula é v(t)=2t-3, para t\ge 0.
    Pedidos:
  • (a) Calcular o deslocamento entre os instantes t=1 e t=3.
  • (b) Determinar o espaço (distância total percorrida) entre os instantes t=1 e t=3.

Passo 2

O que é deslocamento em termos de velocidade?
  • Deslocamento entre dois instantes a e b é a integral definida da velocidade:
\text{deslocamento}=\int_{a}^{b} v(t)\,dt.
Por que isso? Porque a velocidade é a derivada do espaço x(t): v(t)=x'(t). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, \int_a^b x'(t)\,dt = x(b)-x(a). Então, para resolver (a) vamos calcular a integral de v(t) entre 1 e 3.

Passo 3

Encontrar uma primitiva de v(t).
  • Para integrar v(t)=2t-3 usamos regras básicas: \int 2t\,dt = 2\cdot \frac{t^2}{2}=t^2 e \int -3\,dt = -3t.
  • Logo, uma primitiva é
F(t)=t^2-3t.
Aplicando a integral definida de 1 a 3:
\int_{1}^{3} (2t-3)\,dt = F(3)-F(1).
Calcule F(3) e F(1):
F(3)=3^2-3\cdot 3=9-9=0,
F(1)=1^2-3\cdot 1=1-3=-2.
Portanto
\int_{1}^{3} (2t-3)\,dt = 0-(-2)=2.
Isto significa que o deslocamento entre t=1 e t=3 é 2 (unidades de comprimento).

Passo 4

O que é espaço percorrido (distância total)?
  • Espaço percorrido é a integral do valor absoluto da velocidade (daí usamos a velocidade em módulo, chamada de rapidez): \displaystyle \text{espaço}=\int_{a}^{b} |v(t)|\,dtç.
  • Na prática, precisamos identificar onde v(t) muda de sinal no intervalo [1,3] e dividir a integral nesses subintervalos, porque |v(t)| é v(t) quando v(t)\ge 0 e -v(t) quando v(t)<0.

Passo 5

Achar onde v(t) zera no intervalo.
  • Resolva v(t)=2t-3=0.
2t-3=0 \implies t=\frac{3}{2}=1{,}5.
Esse ponto está dentro do intervalo [1,3]. Verificação do sinal:
  • Para t em [1,1{,}5): escolha t=1, v(1)=2\cdot1-3=-1<0 (negativo).
  • Para t em (1{,}5,3]: escolha t=2, v(2)=4-3=1>0 (positivo).
Então devemos dividir a integral em [1,1{,}5] e [1{,}5,3].

Passo 6

Calcular o espaço percorrido quebrando a integral:
\int_{1}^{3} |2t-3|\,dt = \int_{1}^{1{,}5} -(2t-3)\,dt + \int_{1{,}5}^{3} (2t-3)\,dt.
Usamos a mesma primitiva F(t)=t^2-3t.
Calcule a primeira integral:
\int_{1}^{1{,}5} -(2t-3)\,dt = -\bigl(F(1{,}5)-F(1)\bigr).
Avalie F(1{,}5) em frações para ficar exato: 1{,}5=\tfrac{3}{2},
F\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\left(\tfrac{3}{2}\right)^2 -3\cdot\left(\tfrac{3}{2}\right)=\tfrac{9}{4}-\tfrac{9}{2}=\tfrac{9-18}{4}=-\tfrac{9}{4}.
E já calculamos F(1)=-2=\!-\tfrac{8}{4}. Então
F\!\left(\tfrac{3}{2}\right)-F(1) = -\tfrac{9}{4} - (-2) = -\tfrac{9}{4} + \tfrac{8}{4} = -\tfrac{1}{4}.
Com o sinal negativo externo:
\int_{1}^{1{,}5} -(2t-3)\,dt = -\bigl(-\tfrac{1}{4}\bigr)=\tfrac{1}{4}.
(Em decimal é 0{,}25.)

Passo 7

Calcular a segunda integral:
\int_{1{,}5}^{3} (2t-3)\,dt = F(3)-F\!\left(\tfrac{3}{2}\right).
Usamos F(3)=0 e F\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=-\tfrac{9}{4}, então
\int_{1{,}5}^{3} (2t-3)\,dt = 0 - \left(-\tfrac{9}{4}\right)=\tfrac{9}{4}.
(Em decimal é 2{,}25.)

Passo 8

Somando as duas contribuições obtemos o espaço total percorrido:
\text{espaço} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{10}{4} = \tfrac{5}{2}.ç
Em decimal, \tfrac{5}{2}=2{,}5.

Resposta

(a) 2
(b) \tfrac{5}{2}

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