Em cada item, faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de
indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
.
Passo 1
Vamos analisar a curva polar r=3,cosθ para θ∈[−π/2,π/2]. O tema é curvas em coordenadas polares, e vamos precisar passar para o plano cartesiano, identificar a forma da curva e depois determinar os itens solicitados: pontos inicial/final, fechamento, sentido, autointerseções e regiões.
Passo 2
Em coordenadas polares temos as conversões x=r,cosθ e y=r,sinθ. A equação r=3,cosθ multiplicada por r dá r²=3r,cosθ, ou seja
Passo 3
Reorganizando, obtemos a equação de uma circunferência:
Passo 4
Logo, a curva é uma circunferência de centro (3/2,0) e raio 3/2, inteiramente no semiplano x≥0.
Passo 5
Para θ=−π/2 e θ=π/2 temos cos(±π/2)=0, logo r=0 em ambos. Isso significa que o ponto inicial (θ=−π/2) e o ponto final (θ=π/2) coincidem em (0,0).
Passo 6
A curva é fechada porque o ponto de partida e o de chegada são o mesmo e ao longo do percurso é desenhada toda a circunferência sem faltar nenhum ponto.
Passo 7
Para entender o sentido de varredura, observamos alguns pontos: em θ=−π/4 obtemos (x,y)≈(3/2,−3/2), em θ=0 temos (3,0), em θ=π/4 temos (3/2,3/2). Assim, partindo de (0,0) a curva desce para y<0, vai ao ponto mais à direita e sobe para y>0, retornando a (0,0). Esse movimento corresponde ao sentido horário.
Passo 8
Não há autointerseções além do ponto de fechamento em (0,0); cada ponto da circunferência é alcançado exatamente uma vez no intervalo dado.
Passo 9
Como a curva é uma única circunferência fechada, ela determina exatamente 1 região limitada (o interior do círculo).
Resposta
(i) Pontos inicial e final: (0,0) em θ=−π/2 e θ=π/2. (ii) A curva é fechada. (iii) Sentido horário. (iv) Não possui autointerseções. (v) Determina 1 região limitada.