Calcule as Integrais abaixo
integral d xx raizx^2+4

Passo 1

Na questão a gente precisa calcular a integral integral dxxraizx^2+4. O conteúdo aqui é Técnicas de Integração, e vamos usar uma substituição trigonométrica para lidar com a raiz quadrada.

Passo 2

Vamos fazer a substituição x = 2tantheta. Dessa forma temos
dx = 2sec^2theta,dtheta
e
raizx^2+4 = raiz4tan^2theta + 4 = 2sectheta

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, obtemos
integral dxxraizx^2+4 = integral 2sec^2theta,dtheta(2tantheta),(2sectheta) = 12 integral sec^2thetatantheta,sectheta,dtheta = 12 integral secthetatantheta,dtheta = 12 integral csctheta,dtheta

Passo 4

Sabendo que
integral csctheta,dtheta = -lnl|csctheta + cotthetar| + C,
adequamos e fica
12 integral csctheta,dtheta = -12 lnl|csctheta + cotthetar| + C

Passo 5

Para voltar a x, note que tantheta = tfracx2 implica
sintheta = tanthetasectheta = x/2raiz1+tan^2theta = xraizx^2+4,
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csctheta = raizx^2+4x, cottheta = 1tantheta = 2x
Substituindo em
-tfrac12ln|csctheta+cottheta|+C, dá
-12 lnl|raizx^2+4x + 2xr| + C = -12 lnl|raizx^2+4 + 2xr| + C

Resposta

12 lnl|xraizx^2+4 + 2r| + C

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