Calcule as Integrais abaixo
integral d x1+cos x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral dx1+cos x. Esse é um problema de integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas e substituição para resolver.

Passo 2

A gente lembra da identidade de ângulo duplo para o cosseno: 1+cos x = 2cos^2l(tfracx2r). Aplicando isso, a integral vira
$$\n\int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2\cos^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} = \frac12 \int \sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx
$$

Passo 3

Agora fazemos a substituição u = tfracx2. Daí du = tfracdx2, ou seja, dx = 2,du. Substituindo na integral, obtemos
$$\n\frac12 \int \sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx = \frac12 \int \sec^2(u) \cdot 2,du = \int \sec^2(u),du
$$

Passo 4

Sabendo que integral sec^2(u),du = tan(u) + C, basta voltar para a variável original e chegar à antiderivada em função de x.

Resposta

tanl(tfracx2r) + C

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