Calcule as Integrais abaixo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
. Esse é um problema de integração de funções trigonométricas, e vamos precisar usar identidades trigonométricas e substituição para resolver.
Passo 2
A gente lembra da identidade de ângulo duplo para o cosseno:
. Aplicando isso, a integral vira
$$\n\int \frac{dx}{1+\cos x} = \int \frac{dx}{2\cos^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr)} = \frac12 \int \sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx
$$
Passo 3
Agora fazemos a substituição
. Daí
, ou seja,
. Substituindo na integral, obtemos
$$\n\frac12 \int \sec^2\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr),dx = \frac12 \int \sec^2(u) \cdot 2,du = \int \sec^2(u),du
$$
Passo 4
Sabendo que
, basta voltar para a variável original e chegar à antiderivada em função de
.