Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro t dado.
r(t)=lang<= 6 t^3, 4 t^3, 2 trang<=, t=1

Passo 1

O enunciado pede o vetor tangente unitário T(t) na curva r(t)=lang<=6t^3,4t^3,2trang<= no ponto onde t=1. Vamos usar cálculo vetorial: derivar r(t) para obter o vetor tangente e depois normalizar.

Passo 2

Para achar o vetor tangente, calculamos a derivada r'(t):
r'(t)=ddtlang<=6t^3,4t^3,2trang<==lang<=18t^2,12t^2,2rang<=

Passo 3

Agora avaliamos em t=1:
r'(1)=lang<=18cdot1^2,12cdot1^2,2rang<==lang<=18,12,2rang<=

Passo 4

Em seguida, calculamos o comprimento desse vetor:
|r'(1)|=raiz18^2+12^2+2^2=raiz324+144+4=raiz472=2raiz118

Passo 5

Por fim, normalizamos r'(1) dividindo cada componente por 2raiz118:
T(1)=12raiz118lang<=18,12,2rang<==lang<=9raiz118,6raiz118,1raiz118rang<=

Resposta

T(1)=lang<=tfrac9raiz118,tfrac6raiz118,tfrac1raiz118rang<=

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