Em cada item, faça o gráfico das curvas de nível para os valores -1,0,1,2,3 e 4.
© f(x, y)=x^2+y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico das curvas de nível para a função nos valores de e . Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível em Geometria Analítica. Para resolver, vamos entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.

Passo 2

Primeiro, o que são curvas de nível? Basicamente, uma curva de nível é o conjunto de todos os pontos que possuem o mesmo valor de . Ou seja, para cada valor , a curva de nível é definida por .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função x^2 + y^2 = c . Para cada valor de , temos:
Essa equação representa uma circunferência com centro na origem e raio , desde que seja positivo. Se , a “curva” é apenas o ponto . Se for negativo, não existe solução real, pois soma de quadrados não pode ser negativa.

Passo 4

Agora, vamos analisar cada valor solicitado:
  1. x^2 + y^2 = -1 :
    x^2 + y^2 = 0
    Não há soluções reais, pois x^2 + y^2 = 1 nunca é negativo. Portanto, não existe curva de nível para x^2 + y^2 = 2 .
  2. x^2 + y^2 = 3 :
    x^2 + y^2 = 4
    A única solução é e . Então, a curva de nível é apenas o ponto .
  3. :
    É uma circunferência com raio e centro na origem.
  4. :
    Circunferência com raio e centro na origem.
  5. :
    Circunferência com raio e centro na origem.
  6. :
    Circunferência com raio e centro na origem.

Resposta

As curvas de nível para a função são:
  • Para : Não existe curva de nível.
  • Para : O ponto .
  • Para : Circunferência com raio 1.
  • Para : Circunferência com raio .
  • Para : Circunferência com raio .
  • Para : Circunferência com raio 2.

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