Em cada item, faça o gráfico das curvas de nível para os valores
e 4.
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.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente fazer o gráfico das curvas de nível para a função
nos valores de
e
. Isso está relacionado ao estudo de curvas de nível em Geometria Analítica. Para resolver, vamos entender o que são curvas de nível e como elas se relacionam com a função dada.
Passo 2
Primeiro, o que são curvas de nível? Basicamente, uma curva de nível é o conjunto de todos os pontos
que possuem o mesmo valor de
. Ou seja, para cada valor
, a curva de nível é definida por
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Para cada valor de
, temos:
Essa equação representa uma circunferência com centro na origem
e raio
, desde que
seja positivo. Se
, a “curva” é apenas o ponto
. Se
for negativo, não existe solução real, pois soma de quadrados não pode ser negativa.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada valor solicitado:
-
: Não há soluções reais, poisnunca é negativo. Portanto, não existe curva de nível para . -
: A única solução ée . Então, a curva de nível é apenas o ponto . -
: É uma circunferência com raioe centro na origem. -
: Circunferência com raioe centro na origem. -
: Circunferência com raioe centro na origem. -
: Circunferência com raioe centro na origem.
Resposta
As curvas de nível para a função
são:
- Para
: Não existe curva de nível. - Para
: O ponto . - Para
: Circunferência com raio 1. - Para
: Circunferência com raio . - Para
: Circunferência com raio . - Para
: Circunferência com raio 2.