Uma lata cilíndrica sem topo é feita para receber
de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.
Passo 1
A questão pede um cilindro aberto (sem tampa) de volume fixo
que minimize o custo do metal, ou seja, a área da superfície metálica. O conteúdo é otimização de função com restrição de volume e vamos precisar usar derivadas para achar o mínimo.
Passo 2
O volume de um cilindro de raio
e altura
é dado por
Como
é fixo, isolamos
:
Passo 3
A área do metal de um cilindro sem tampa é a soma da base inferior mais a área lateral. Assim:
Substituindo
em função de
:
Passo 4
Para encontrar o raio que minimiza
, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Isso leva a
Passo 5
Para garantir que é mínimo, verificamos a segunda derivada:
para todo
, então realmente temos um mínimo.
Passo 6
Finalmente, usamos o volume para achar a altura ótima:
Resposta
O raio ótimo é
e a altura ótima é
.