Uma lata cilíndrica sem topo é feita para receber Vcm^3 de líquido. Encontre as dimensões que minimizarão o custo do metal para fazer a lata.

Passo 1

A questão pede um cilindro aberto (sem tampa) de volume fixo V que minimize o custo do metal, ou seja, a área da superfície metálica. O conteúdo é otimização de função com restrição de volume e vamos precisar usar derivadas para achar o mínimo.

Passo 2

O volume de um cilindro de raio r e altura h é dado por
V = pi r^2 h
Como V é fixo, isolamos h:
h = Vpi r^2

Passo 3

A área do metal de um cilindro sem tampa é a soma da base inferior mais a área lateral. Assim:
S(r,h) = pi r^2 + 2pi r h
Substituindo h em função de r:
S(r) = pi r^2 + 2pi r cdot Vpi r^2 = pi r^2 + 2Vr

Passo 4

Para encontrar o raio que minimiza S(r), calculamos a derivada e igualamos a zero:
S'(r) = 2pi r - 2Vr^2 = 0
Isso leva a
2pi r = 2Vr^2 Longrightarrow r^3 = Vpi Longrightarrow r = gl(Vpigr)^1/3

Passo 5

Para garantir que é mínimo, verificamos a segunda derivada:
S''(r) = 2pi + 4Vr^3 > 0
para todo r>0, então realmente temos um mínimo.

Passo 6

Finalmente, usamos o volume para achar a altura ótima:
h = Vpi r^2 = Vpil((V/pi)^1/3r)^2 = gl(Vpigr)^1/3 = r

Resposta

O raio ótimo é r = l(V/pir)^1/3 e a altura ótima é h = l(V/pir)^1/3.

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