Em cada item, faça o gráfico das curvas de nível para os valores -1,0,1,2,3 e 4.
(d) f(x, y)=raizx^2+y^2.

Passo 1

Então, a gente tem que fazer o gráfico das curvas de nível para a função nos valores de e . Isso está relacionado ao estudo das curvas de nível na geometria analítica, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para um valor é o conjunto de todos os pontos onde a função é igual a . Ou seja, .

Passo 3

No nosso caso, temos raizx^2 + y^2 = c . Então, para encontrar as curvas de nível, igualamos essa expressão a x^2 + y^2 = c^2 :
Para simplificar, elevamos os dois lados ao quadrado:
Isso nos mostra que as curvas de nível são circunferências com raio e centradas na origem .

Passo 4

Agora, vamos analisar cada valor de :
  • : Aqui temos . Mas como representa a distância e a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo, não existe uma curva de nível para .
  • : A equação fica . A única solução é e , ou seja, apenas o ponto .
  • : Para cada um desses valores, teremos uma circunferência com raio correspondente:
    • :
    • :
    • :
    • :
Essas circunferências estão todas centradas na origem e têm raios de 1, 2, 3 e 4 unidades, respectivamente.

Resposta

As curvas de nível para a função são:
  • : Não existe curva de nível.
  • : Apenas o ponto .
  • : Circunferência de raio 1.
  • : Circunferência de raio 2.
  • : Circunferência de raio 3.
  • : Circunferência de raio 4.

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