Em cada item, faça o gráfico das curvas de nível para os valores
e 4.
(d)
.
(d)
Passo 1
Então, a gente tem que fazer o gráfico das curvas de nível para a função
nos valores de
e
. Isso está relacionado ao estudo das curvas de nível na geometria analítica, que nos ajudam a visualizar como a função se comporta em diferentes pontos do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Uma curva de nível para um valor
é o conjunto de todos os pontos
onde a função
é igual a
. Ou seja,
.
Passo 3
No nosso caso, temos
. Então, para encontrar as curvas de nível, igualamos essa expressão a
:
Para simplificar, elevamos os dois lados ao quadrado:
Isso nos mostra que as curvas de nível são circunferências com raio
e centradas na origem
.
Passo 4
Agora, vamos analisar cada valor de
:
-
: Aqui temos . Mas como representa a distância e a raiz quadrada sempre dá um valor não negativo, não existe uma curva de nível para . -
: A equação fica . A única solução é e , ou seja, apenas o ponto . -
: Para cada um desses valores, teremos uma circunferência com raio correspondente: -
: -
: -
: -
:
-
Essas circunferências estão todas centradas na origem e têm raios de 1, 2, 3 e 4 unidades, respectivamente.
Resposta
As curvas de nível para a função
são:
-
: Não existe curva de nível. -
: Apenas o ponto . -
: Circunferência de raio 1. -
: Circunferência de raio 2. -
: Circunferência de raio 3. -
: Circunferência de raio 4.