Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de z=f(x, y)
f(x, y)=4 x^2+9 y^2

Passo 1

O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico 3D da função f(x,y)=4x²+9y² e também traçar o mapa de curvas de nível para quatro valores de z. O conteúdo envolvido é superfícies quádricas (aqui, um paraboloide elíptico) e curva de nível (seção da superfície por um plano z=constante).

Passo 2

A teoria diz que, sendo f(x,y)=ax²+by² com a>0 e b>0, o gráfico é um paraboloide elíptico que abre pra cima. Para curvas de nível, fixamos z=c e vemos onde 4x²+9y²=c no plano xy.

Passo 3

Para achar cada curva de nível, basta resolver 4x²+9y²=c. Em forma padrão de elipse temos:
x^2c/4+y^2c/9=1
Isso mostra que as curvas são elipses centradas na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados.

Passo 4

Escolhemos quatro valores de c (por exemplo c=1,4,9,16) e calculamos os semieixos: para cada c,
a=raizc/4, b=raizc/9
Assim: para c=1: a=1/2, b=1/3; c=4: a=1, b=2/3; c=9: a=3/2, b=1; c=16: a=2, b=4/3.

Passo 5

No mapa de curvas de nível, basta desenhar no plano xy quatro elipses concêntricas com semieixos indicados. No gráfico 3D, isso corresponde a fatias horizontais do paraboloide elíptico f(x,y)=4x²+9y².

Resposta

As curvas de nível para quatro valores de z são dadas pelas elipses
4x^2+9y^2=1,
4x^2+9y^2=4,
4x^2+9y^2=9,
4x^2+9y^2=16
com semieixos:
para z=1: a=1/2, b=1/3;
para z=4: a=1, b=2/3;
para z=9: a=3/2, b=1;
para z=16: a=2, b=4/3.

Exercícios relacionados