Represente graficamente as seguintes funções e dê o mapa de curvas de nível para quatro valores de
Passo 1
O enunciado pede pra gente desenhar o gráfico 3D da função f(x,y)=4x²+9y² e também traçar o mapa de curvas de nível para quatro valores de z. O conteúdo envolvido é superfícies quádricas (aqui, um paraboloide elíptico) e curva de nível (seção da superfície por um plano z=constante).
Passo 2
A teoria diz que, sendo f(x,y)=ax²+by² com a>0 e b>0, o gráfico é um paraboloide elíptico que abre pra cima. Para curvas de nível, fixamos z=c e vemos onde 4x²+9y²=c no plano xy.
Passo 3
Para achar cada curva de nível, basta resolver 4x²+9y²=c. Em forma padrão de elipse temos:
Isso mostra que as curvas são elipses centradas na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados.
Passo 4
Escolhemos quatro valores de c (por exemplo c=1,4,9,16) e calculamos os semieixos: para cada c,
Assim: para c=1: a=1/2, b=1/3; c=4: a=1, b=2/3; c=9: a=3/2, b=1; c=16: a=2, b=4/3.
Passo 5
No mapa de curvas de nível, basta desenhar no plano xy quatro elipses concêntricas com semieixos indicados. No gráfico 3D, isso corresponde a fatias horizontais do paraboloide elíptico f(x,y)=4x²+9y².
Resposta
As curvas de nível para quatro valores de z são dadas pelas elipses
com semieixos:
para z=1: a=1/2, b=1/3;
para z=4: a=1, b=2/3;
para z=9: a=3/2, b=1;
para z=16: a=2, b=4/3.
para z=1: a=1/2, b=1/3;
para z=4: a=1, b=2/3;
para z=9: a=3/2, b=1;
para z=16: a=2, b=4/3.