Em cada item, faça o gráfico das curvas de nível para os valores
e
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Passo 1
O enunciado pede pra desenhar as curvas de nível de uma função de duas variáveis — aqui é f(x,y)=y² — nos valores c=−1,0,1,2,3 e 4. Vamos usar o conceito de curva de nível: o conjunto de pontos (x,y) tais que f(x,y)=c.
Passo 2
As curvas de nível satisfazem a equação
que vem de f(x,y)=y^2. Precisamos analisar três casos: valores de c negativos, nulo e positivos.
Passo 3
Para c<0 (aqui c=−1) não existe y real tal que y² seja negativo. Logo não há curva de nível para c=−1.
Passo 4
Para c=0 temos
isto é y=0. A curva de nível é a reta horizontal y=0.
Passo 5
Para cada c>0 (c=1,2,3,4) temos
Então as curvas de nível são retas horizontais em y=+√c e em y=−√c.
Passo 6
Em termos de desenho, desenhe no plano xy linhas horizontais em y=0 para c=0 e em y=±1, ±√2, ±√3 e ±2 para c=1,2,3,4, respectivamente. Não há curva para c=−1.
Resposta
As curvas de nível são retas horizontais dadas por:
Para c=−1: nenhuma;
Para c=0: y=0;
Para c=1: y=±1;
Para c=2: y=±√2;
Para c=3: y=±√3;
Para c=4: y=±2.
Para c=−1: nenhuma;
Para c=0: y=0;
Para c=1: y=±1;
Para c=2: y=±√2;
Para c=3: y=±√3;
Para c=4: y=±2.