Calcule
integral triplaE raizx^2+y^2 d V
onde E está entre as esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=4.
Dica: sen^2(phi)=12(1-cos (2 phi)).

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa calcular a integral tripla integral triplaE raizx^2+y^2,dV, onde E é a casca esférica entre as esferas de raio 1 e 2. O conteúdo que vamos usar é integração em coordenadas esféricas, transformando (x,y,z) em (rho,phi,theta) e usando o jacobiano.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos:
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
e o elemento de volume é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta Além disso, raizx^2+y^2=rhosinphi.

Passo 3

Então o integrando fica:
raizx^2+y^2,dV=(rhosinphi)cdot(rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta) =rho^3sin^2phi,drho,dphi,dtheta A região E vira
1<=rho<=2,
0<=phi<=pi,
0<=theta<=2pi.

Passo 4

Agora separamos a integral em produto de 3 integrais:
integral triplaE rho^3sin^2phi,drho,dphi,dtheta =l(integral1^2rho^3,drhor) l(integral0^pisin^2phi,dphir) l(integral0^2pidthetar)

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. integral1^2rho^3,drho=rho^44|1^2=16-14=154
  2. Para integral0^2pidtheta=2pi
  3. Usando a dica sin^2phi=tfrac12(1-cos2phi):
integral0^pisin^2phi,dphi=12integral0^pi(1-cos2phi),dphi=12l[phi-tfracsin2phi2r]0^pi=pi2

Passo 6

Multiplicando tudo:
154times2pitimespi2= rac15pi^24

Resposta

15pi^24

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