Em cada item, faça o gráfico da equação e encontre duas parametrizações de orientações opostas cujos traços sejam o gráfico da função dada. Nas parametrizações escolhidas, indique os pontos inicial e final da curva. Quando a curva for fechada, indique o sentido da orientação.
y^2-x=0, x in[0,4].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente desenhar o gráfico da equação $ y^{2} - x = 0 $ no intervalo $ x \in [0,4] $ e encontrar duas parametrizações com orientações opostas que correspondam a esse gráfico. Além disso, precisamos indicar os pontos inicial e final de cada parametrização e, se a curva for fechada, dizer o sentido da orientação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação $ y^{2} - x = 0 $. Podemos reescrever isso como $ y^{2} = x $, o que é a equação de uma parábola que abre para a direita. O intervalo $ x \in [0,4] $ significa que vamos considerar apenas os valores de $ x $ entre 0 e 4.

Passo 3

Vamos desenhar o gráfico dessa parábola no intervalo dado. Para cada valor de $ x $ entre 0 e 4, $ y $ pode ser positivo ou negativo, já que $ y^{2} = x $. Isso significa que teremos duas “ramificações” da parábola: uma acima do eixo $ x $ (com $ y $ positivo) e outra abaixo (com $ y $ negativo).

Passo 4

Agora, precisamos encontrar duas parametrizações com orientações opostas. Parametrizar uma curva significa expressar as coordenadas $ x $ e $ y $ em função de um parâmetro, geralmente $ t $.
Primeira Parametrização (Orientação para a direita):
Vamos escolher $ t $ variando de 0 a 4, representando $ x $. Então:
x
Aqui, $ t $ vai de 0 a 4, e $ y(t) $ é a raiz quadrada de $ t $, ou seja, a parte positiva da parábola.
  • Ponto Inicial: Quando $ t = 0 $, $ (x, y) = (0, 0) $.
  • Ponto Final: Quando $ t = 4 $, $ (x, y) = (4, 2) $.
Segunda Parametrização (Orientação para a esquerda):
Para a orientação oposta, vamos fazer com que $ t $ varie de 4 a 0:
y
Aqui, $ y(t) $ é a parte negativa da parábola, e $ t $ diminui de 4 a 0.
  • Ponto Inicial: Quando $ t = 4 $, $ (x, y) = (4, -2) $.
  • Ponto Final: Quando $ t = 0 $, $ (x, y) = (0, 0) $.

Passo 5

Como estamos lidando com uma parábola que não forma uma curva fechada, não precisamos indicar o sentido da orientação nesse caso.

Resposta

Foram encontradas duas parametrizações com orientações opostas para a equação $ y^{2} = x $ no intervalo $ x \in [0,4] $:
  1. Primeira Parametrização (Direita):
    y^2 = x
    • Ponto Inicial: $ (0, 0) $
    • Ponto Final: $ (4, 2) $
  2. Segunda Parametrização (Esquerda):
    x in [0,4]
    • Ponto Inicial: $ (4, -2) $
    • Ponto Final: $ (0, 0) $
Essas parametrizações percorrem a parábola em direções opostas dentro do intervalo especificado.

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