Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
e
.
Passo 1
O enunciado pede pra resolver a EDO linear de 2ª ordem com forçamento dado por seno mais um termo escalonado em 2π, usando condição inicial y(0)=0 e y′(0)=0. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace, teorema do deslocamento no tempo e frações parciais. Vamos usar essas ferramentas passo a passo.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados de
Usando y(0)=0 e y’(0)=0, temos
Passo 3
Essa aplicação dá
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Passo 4
Para inverter precisamos decompor
$$\frac1{(s2+1)(s2+4)}=\frac{A}{s2+1}+\frac{B}{s2+4}.
Passo 5
Sem atraso, a parte principal inverte para
$$y_1(t)=\frac13\sin t-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac13\sin t-\frac16\sin2t.
$$
Passo 6
Para o termo com
usamos o teorema do deslocamento: se
inverte em
, então
inverte em
. Assim
$$y_2(t)=u(t-2\pi)\Bigl(\frac13\sin(t-2\pi)-\frac16\sin(2(t-2\pi))\Bigr).
$$
Passo 7
Como
e
, somando as duas partes temos finalmente
$$y(t)=\frac13\sin t-\frac16\sin2t+u(t-2\pi)\Bigl(\frac13\sin t-\frac16\sin2t\Bigr).
$$
Resposta
y(t)=\frac13\sin t-\frac16\sin2t+u(t-2\pi)\Bigl(\frac13\sin t-\frac16\sin2t\Bigr)