Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+4 y=sen(t)+u2 pi(t) sen(t-2 pi), y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a EDO linear de 2ª ordem com forçamento dado por seno mais um termo escalonado em 2π, usando condição inicial y(0)=0 e y′(0)=0. O conteúdo aqui é Transformada de Laplace, teorema do deslocamento no tempo e frações parciais. Vamos usar essas ferramentas passo a passo.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados de
y''+4y=sin(t)+u2pi(t)sin(t-2pi)
Usando y(0)=0 e y’(0)=0, temos Ly''=s^2Y(s) e Ly=Y(s). A força vira
Lsin t=1s^2+1, Lu2pi(t)sin(t-2pi)=e^-2pi s1s^2+1

Passo 3

Essa aplicação dá
s^2Y(s)+4Y(s)=1s^2+1+e^-2pi s1s^2+1
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Y(s)=1s^2+4l(1s^2+1+e^-2pi s1s^2+1r)

Passo 4

Para inverter precisamos decompor
$$\frac1{(s2+1)(s2+4)}=\frac{A}{s2+1}+\frac{B}{s2+4}.
1(s^2+1)(s^2+4)=As^2+1+Bs^2+4 íA+B=0,\quad 4A+B=1\implies A=\tfrac13,;B=-\tfrac13.$$

Passo 5

Sem atraso, a parte principal inverte para
$$y_1(t)=\frac13\sin t-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\sin(2t)=\frac13\sin t-\frac16\sin2t.
$$

Passo 6

Para o termo com e^-2pi s usamos o teorema do deslocamento: se F(s) inverte em f(t), então e^-2pi sF(s) inverte em f(t-2pi)u(t-2pi). Assim
$$y_2(t)=u(t-2\pi)\Bigl(\frac13\sin(t-2\pi)-\frac16\sin(2(t-2\pi))\Bigr).
$$

Passo 7

Como sin(t-2pi)=sin t e sin(2t-4pi)=sin2t, somando as duas partes temos finalmente
$$y(t)=\frac13\sin t-\frac16\sin2t+u(t-2\pi)\Bigl(\frac13\sin t-\frac16\sin2t\Bigr).
$$

Resposta

y(t)=\frac13\sin t-\frac16\sin2t+u(t-2\pi)\Bigl(\frac13\sin t-\frac16\sin2t\Bigr)

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