Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+2 y^prime+2 y=h(t), y(0)=0, y^prime(0)=1 e

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI de segunda ordem não‐homogênea
com condiçõe​s iniciais e um forçamento em degraus:
y’’+2y’+2y=h(t), y(0)=0, y’(0)=1, onde
h(t)= 0,&0<= t=2pi
O conteúdo envolve resolver a equação homogênea e depois incluir o forçamento por convolução (ou Laplace).

Passo 2

Começamos resolvendo a parte homogênea
r^2+2r+2=0implies r=-1pm i,
logo a solução geral homogênea é
yh(t)=e^-tl(Acos t+Bsin tr)
Como o termo de convolução vale zero em t=0, as condições iniciais aplicam-se só a y_h: de y(0)=0 vem A=0; de y’(0)=1 vem B=1.
Portanto
yh(t)=e^-tsin t

Passo 3

Para tratar o forçamento h(t) usamos a resposta ao impulso (função de Green).
No domínio de Laplace a função de transferência é
H(s)=1s^2+2s+2,
e a transformada inversa dá a resposta ao impulso
himp(t)=e^-tsin t
Pelo teorema da convolução, a solução completa é
y(t)=yh(t)+integral0^t himp(t-tau),h(tau),dtau =e^-tsin t+integral0^t e^-(t-tau)sin(t-tau),h(tau),dtau

Passo 4

Para 0\le t<\pi, temos h(\tau)=0 em todo [0,t],
então
integral0^t e^-(t-tau)sin(t-tau),0,dtau=0
e
y(t)=e^-tsin t

Passo 5

Para \pi\le t<2\pi, h(\tau)=1 somente em \tau\in[\pi,t].
Fazendo a mudança u=t-τ, o integral vira
integralpi^t e^-(t-τ)sin(t-τ),dτ =integral0^t-pie^-usin u,du
Essa integral é padrão:
integral0^a e^-usin u,du=1-e^-a(cos a+sin a)2
Logo para \pi\le t<2\pi,
y(t)=e^-tsin t+1-e^-(t-pi)l(cos(t-pi)+sin(t-pi)r)2

Passo 6

Para t\ge2\pi, h(τ)=1 apenas em τ\in[\pi,2\pi],
então
integral0^t e^-(t-τ)sin(t-τ)h(τ)dτ =integralpi^2pie^-(t-τ)sin(t-τ)dτ =integralt-2pi^t-pie^-usin u,du
Isso vale
integralt-2pi^t-pie^-usin u,du =I(0,t-pi)-I(0,t-2pi)
com
I(0,a)=1-e^-a(cos a+sin a)2
Logo
y(t)=e^-tsin t+e^-(t-2pi)(cos(t-2pi)+sin(t-2pi))-e^-(t-pi)(cos(t-pi)+sin(t-pi))2

Resposta

y(t)= e^-tsin t,&0<= t=2pi

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