Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
e
Passo 1
O enunciado nos dá o PVI de segunda ordem não‐homogênea
com condições iniciais e um forçamento em degraus:
com condições iniciais e um forçamento em degraus:
y’’+2y’+2y=h(t), y(0)=0, y’(0)=1, onde
h(t)=
O conteúdo envolve resolver a equação homogênea e depois incluir o forçamento por convolução (ou Laplace).
Passo 2
Começamos resolvendo a parte homogênea
logo a solução geral homogênea é
Como o termo de convolução vale zero em t=0, as condições iniciais aplicam-se só a y_h: de y(0)=0 vem A=0; de y’(0)=1 vem B=1.
Portanto
Passo 3
Para tratar o forçamento h(t) usamos a resposta ao impulso (função de Green).
No domínio de Laplace a função de transferência é
No domínio de Laplace a função de transferência é
e a transformada inversa dá a resposta ao impulso
Pelo teorema da convolução, a solução completa é
Passo 4
Para 0\le t<\pi, temos h(\tau)=0 em todo [0,t],
então
então
e
Passo 5
Para \pi\le t<2\pi, h(\tau)=1 somente em \tau\in[\pi,t].
Fazendo a mudança u=t-τ, o integral vira
Fazendo a mudança u=t-τ, o integral vira
Essa integral é padrão:
Logo para \pi\le t<2\pi,
Passo 6
Para t\ge2\pi, h(τ)=1 apenas em τ\in[\pi,2\pi],
então
então
Isso vale
com
Logo