Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
e
Passo 1
O problema é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento em regime forçado tipo “liga-desliga”. Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares, solução geral composta por solução homogênea mais particular via integral de convolução (função de Green).
Passo 2
A equação homogênea associada é y’’+y=0. O polinômio característico é r^2+1=0, com raízes r=±i. Logo a solução homogênea geral é
.
Passo 3
Impondo as condições iniciais
e
na parte homogênea (antes de aplicar o forçamento) dá A=0 e B=1. Assim
.
Passo 4
Para obter uma solução particular de y’’+y=f(t), usamos a fórmula de Duhamel (convolução) com a resposta ao impulso
. Temos
Passo 5
Como f(s)=1 para
e f(s)=0 para
, o limite superior efetivo da integral é
. Definindo
, calculamos:
Passo 6
Para
temos
, logo
Para
temos
, logo
Passo 7
A solução geral é y(t)=y_h(t)+y_p(t). Substituindo cada caso, obtemos as duas expressões.
Unindo tudo, para cada intervalo:
Para :
Unindo tudo, para cada intervalo:
Para
Para
: