Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+y=f(t), y(0)=0, y^prime(0)=1 e

Passo 1

O problema é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento em regime forçado tipo “liga-desliga”. Vamos usar o conteúdo de sistemas lineares, solução geral composta por solução homogênea mais particular via integral de convolução (função de Green).

Passo 2

A equação homogênea associada é y’’+y=0. O polinômio característico é r^2+1=0, com raízes r=±i. Logo a solução homogênea geral é yh(t)=Acos t+Bsin t.

Passo 3

Impondo as condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=1 na parte homogênea (antes de aplicar o forçamento) dá A=0 e B=1. Assim yh(t)=sin t.

Passo 4

Para obter uma solução particular de y’’+y=f(t), usamos a fórmula de Duhamel (convolução) com a resposta ao impulso G(t)=sin t. Temos
yp(t)=integral0^tsinl(t-sr)f(s),ds

Passo 5

Como f(s)=1 para 0<= s<3pi e f(s)=0 para s>=3pi, o limite superior efetivo da integral é min(t,3pi). Definindo a=min(t,3pi), calculamos:
integral0^asin(t-s),ds=integralt-a^tsin u,du=[-cos u]u=t-a^u=t=cos(t-a)-cos t

Passo 6

Para 0<= t<3pi temos a=t, logo
integral0^tsin(t-s),ds=cos0-cos t=1-cos t
Para t>=3pi temos a=3pi, logo
integral0^3pisin(t-s),ds=cos(t-3pi)-cos t=-cos t-cos t=-2cos t

Passo 7

A solução geral é y(t)=y_h(t)+y_p(t). Substituindo cada caso, obtemos as duas expressões.
Unindo tudo, para cada intervalo:
Para 0<= t<3pi:
y(t)=sin t+(1-cos t)=sin t+1-cos t
Para t>=3pi:
y(t)=sin t+(-2cos t)=sin t-2cos t

Resposta

y(t)=sin t+1-cos t,&0<= t<3pisin t-2cos t,&t>=3pi

Exercícios relacionados