Em cada item, faça o gráfico da equação e encontre duas parametrizações de orientações opostas cujos traços sejam o gráfico da função dada. Nas parametrizações escolhidas, indique os pontos inicial e final da curva. Quando a curva for fechada, indique o sentido da orientação.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da equação da elipse dada por
e encontrar duas parametrizações que descrevem a elipse em direções opostas. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano, especificamente para elipses. Vamos precisar entender como representar uma elipse de forma paramétrica e como inverter a direção dessa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação da elipse:
. Essa é a equação padrão de uma elipse centrada na origem (0,0), onde o eixo maior está alongado no eixo x e o eixo menor no eixo y. Os valores 16 e 9 são os quadrados dos semi-eixos, então o semi-eixo maior tem comprimento 4 (já que
) e o semi-eixo menor tem comprimento 3 (já que
).
Passo 3
Agora, vamos fazer o gráfico dessa elipse. Como os semi-eixos são 4 e 3, a elipse se estende de -4 a 4 no eixo x e de -3 a 3 no eixo y. Isso significa que os pontos mais à direita e à esquerda da elipse são (4,0) e (-4,0), e os pontos mais altos e mais baixos são (0,3) e (0,-3). O gráfico ficará assim:

Passo 4
Vamos encontrar a primeira parametrização para desenhar a elipse no sentido anti-horário (o sentido que normalmente consideramos positivo). Para isso, usamos parâmetros baseados em funções trigonométricas:
Onde $ t $ varia de 0 a $ 2\pi $. Com essa parametrização, quando $ t = 0 $, temos $ (4,0) $ e conforme $ t $ aumenta, a curva é traçada no sentido anti-horário.
Passo 5
Agora, vamos criar uma segunda parametrização que percorre a elipse no sentido horário, ou seja, na direção oposta. Para isso, podemos inverter o sinal de $ t $ na função seno:
Novamente, $ t $ varia de 0 a $ 2\pi $. Com essa parametrização, quando $ t = 0 $, começamos em $ (4,0) $ e conforme $ t $ aumenta, a curva é traçada no sentido horário.
Passo 6
Vamos identificar os pontos inicial e final para cada parametrização:
-
Primeira Parametrização (Anti-horário):
- Ponto Inicial: Quando $ t = 0 $, $ (4,0) $
- Ponto Final: Quando $ t = 2\pi $, $ (4,0) $
- Direção: Anti-horária
-
Segunda Parametrização (Horário):
- Ponto Inicial: Quando $ t = 0 $, $ (4,0) $
- Ponto Final: Quando $ t = 2\pi $, $ (4,0) $
- Direção: Horária
Como a elipse é uma curva fechada, ela retorna ao ponto inicial após um ciclo completo de $ t $ de 0 a $ 2\pi $.
Resposta
As duas parametrizações da elipse
são:
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Sentido Anti-horário:
- Ponto Inicial: (4, 0)
- Ponto Final: (4, 0)
- Direção: Anti-horária
-
Sentido Horário:
- Ponto Inicial: (4, 0)
- Ponto Final: (4, 0)
- Direção: Horária
Assim, temos duas formas de parametrizar a elipse com orientações opostas, ambas começando e terminando no ponto (4, 0).