Em cada item, faça o gráfico da equação e encontre duas parametrizações de orientações opostas cujos traços sejam o gráfico da função dada. Nas parametrizações escolhidas, indique os pontos inicial e final da curva. Quando a curva for fechada, indique o sentido da orientação.
x^216+y^29=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa fazer o gráfico da equação da elipse dada por x^216+y^29=1 e encontrar duas parametrizações que descrevem a elipse em direções opostas. Para isso, vamos usar conceitos de parametrização de curvas no plano, especificamente para elipses. Vamos precisar entender como representar uma elipse de forma paramétrica e como inverter a direção dessa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação da elipse: x^216+y^29=1. Essa é a equação padrão de uma elipse centrada na origem (0,0), onde o eixo maior está alongado no eixo x e o eixo menor no eixo y. Os valores 16 e 9 são os quadrados dos semi-eixos, então o semi-eixo maior tem comprimento 4 (já que raiz16=4) e o semi-eixo menor tem comprimento 3 (já que raiz9=3).

Passo 3

Agora, vamos fazer o gráfico dessa elipse. Como os semi-eixos são 4 e 3, a elipse se estende de -4 a 4 no eixo x e de -3 a 3 no eixo y. Isso significa que os pontos mais à direita e à esquerda da elipse são (4,0) e (-4,0), e os pontos mais altos e mais baixos são (0,3) e (0,-3). O gráfico ficará assim:
Elipse

Passo 4

Vamos encontrar a primeira parametrização para desenhar a elipse no sentido anti-horário (o sentido que normalmente consideramos positivo). Para isso, usamos parâmetros baseados em funções trigonométricas:
x(t) = 4 cos t
y(t) = 3 sin t
Onde $ t $ varia de 0 a $ 2\pi $. Com essa parametrização, quando $ t = 0 $, temos $ (4,0) $ e conforme $ t $ aumenta, a curva é traçada no sentido anti-horário.

Passo 5

Agora, vamos criar uma segunda parametrização que percorre a elipse no sentido horário, ou seja, na direção oposta. Para isso, podemos inverter o sinal de $ t $ na função seno:
t
x(t) = 4 cos t
Novamente, $ t $ varia de 0 a $ 2\pi $. Com essa parametrização, quando $ t = 0 $, começamos em $ (4,0) $ e conforme $ t $ aumenta, a curva é traçada no sentido horário.

Passo 6

Vamos identificar os pontos inicial e final para cada parametrização:
  1. Primeira Parametrização (Anti-horário):
    • Ponto Inicial: Quando $ t = 0 $, $ (4,0) $
    • Ponto Final: Quando $ t = 2\pi $, $ (4,0) $
    • Direção: Anti-horária
  2. Segunda Parametrização (Horário):
    • Ponto Inicial: Quando $ t = 0 $, $ (4,0) $
    • Ponto Final: Quando $ t = 2\pi $, $ (4,0) $
    • Direção: Horária
Como a elipse é uma curva fechada, ela retorna ao ponto inicial após um ciclo completo de $ t $ de 0 a $ 2\pi $.

Resposta

As duas parametrizações da elipse x^216+y^29=1 são:
  1. Sentido Anti-horário:
    x(t) = 4 cos t y(t) = 3 sin t para t in [0, 2pi]
    • Ponto Inicial: (4, 0)
    • Ponto Final: (4, 0)
    • Direção: Anti-horária
  2. Sentido Horário:
    x(t) = 4 cos t y(t) = -3 sin t para t in [0, 2pi]
    • Ponto Inicial: (4, 0)
    • Ponto Final: (4, 0)
    • Direção: Horária
Assim, temos duas formas de parametrizar a elipse com orientações opostas, ambas começando e terminando no ponto (4, 0).

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