Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime-y=-20 de e y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO com força impulsiva y''-y=-20,de, sujeita a y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é EDO linear de 2º ordem com distribuição de Dirac e vamos usar a ideia de resposta ao impulso: a solução é homogênea antes e depois de t=3, com continuidade de y em t=3 e salto na derivada.

Passo 2

Para 0<= t<3 não há impulso ativo, então a EDO fica homogênea y''-y=0. A solução geral é y1(t)=A e^t+B e^-t. Aplicando y1(0)=1 e y1'(0)=0 obtemos
A+B=1, A-B=0implies A=B=tfrac12
Logo
y1(t)=tfrac12e^t+tfrac12e^-t=cosh t

Passo 3

Em t=3 a distribuição de gera um salto na derivada de y. Integramos a EDO de 3^- a 3^+:
integral3^-^3^+(y''-y),dt=-20implies y'(3^+)-y'(3^-)= -20,
enquanto y permanece contínua: y(3^+)=y(3^-)=cosh3, e y'(3^-)=sinh3.

Passo 4

Para t>3 a solução é novamente homogênea: y2(t)=C e^t+D e^-t. Impomos em t=3
C e^3+D e^-3=cosh3,
C e^3- D e^-3=sinh3-20
Somando e subtraindo essas equações e usando cosh3pmsinh3=e^pm3, achamos
C e^3=tfrace^3-202, D e^-3=tfrace^-3+202
Logo
C=tfrac1-20e^-32, D=tfrac1+20e^32

Passo 5

Substituindo em y2 e simplificando com identidades de hiperbólicas, obtemos para t>3
y2(t)=cosh t+20sinh(3-t)

Resposta

A solução fica
y(t)= cosh t,&0<= t<3, cosh t+20sinh(3-t),&t>3

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