Em cada um dos problemas abaixo, calcule a solução do problema de valor inicial dado.
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO com força impulsiva
, sujeita a
e
. O conteúdo é EDO linear de 2º ordem com distribuição de Dirac e vamos usar a ideia de resposta ao impulso: a solução é homogênea antes e depois de
, com continuidade de
em
e salto na derivada.
Passo 2
Para
não há impulso ativo, então a EDO fica homogênea
. A solução geral é
. Aplicando
e
obtemos
Logo
Passo 3
Em
a distribuição
gera um salto na derivada de
. Integramos a EDO de
a
:
enquanto
Passo 4
Para
a solução é novamente homogênea:
. Impomos em
Somando e subtraindo essas equações e usando
Logo
Passo 5
Substituindo em
e simplificando com identidades de hiperbólicas, obtemos para
Resposta
A solução fica