Calcule as Integrais abaixo
Ache a área da região limitada pela curva y=ln x, pelo eixo x e pela reta x=e^2.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região limitada pela curva $ y = \ln x $, pelo eixo $ x $ (ou seja, $ y = 0 $) e pela reta vertical $ x = e^{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A área está limitada entre $ x = 1 $ e $ x = e^{2} $. Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então o ponto onde a curva $ y = \ln x $ cruza o eixo $ x $ é em $ x = 1 $.

Passo 3

A área $ A $ que queremos encontrar pode ser calculada pela integral definida da função $ \ln x $ de $ x = 1 $ até $ x = e^{2} $:
A

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • $ u = \ln x $ (porque sua derivada é mais simples)
  • $ dv = dx $
Então, calculamos $ du $ e $ v $:
  • $ du = \frac{1}{x} dx $
  • $ v = \int dv = \int dx = x $

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x

Passo 6

Com a antiderivada encontrada, avaliamos entre os limites de 1 a $ e^{2} $:
e^2
Sabemos que $ \ln e^{2} = 2 $ e $ \ln 1 = 0 $. Substituindo:
A = [ x ln x - x ]1^e^2 = ( e^2 ln e^2 - e^2 ) - ( 1 cdot ln 1 - 1 )

Resposta

A área da região limitada é $ e^{2} + 1 $.

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