Calcule as Integrais abaixo
Ache a área da região limitada pela curva
, pelo eixo
e pela reta
.
Ache a área da região limitada pela curva
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região limitada pela curva $ y = \ln x $, pelo eixo $ x $ (ou seja, $ y = 0 $) e pela reta vertical $ x = e^{2} $. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a integração definida.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. A área está limitada entre $ x = 1 $ e $ x = e^{2} $. Sabemos que $ \ln 1 = 0 $, então o ponto onde a curva $ y = \ln x $ cruza o eixo $ x $ é em $ x = 1 $.
Passo 3
A área $ A $ que queremos encontrar pode ser calculada pela integral definida da função $ \ln x $ de $ x = 1 $ até $ x = e^{2} $:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos utilizar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Escolhemos:
- $ u = \ln x $ (porque sua derivada é mais simples)
- $ dv = dx $
Então, calculamos $ du $ e $ v $:
- $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ v = \int dv = \int dx = x $
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 6
Com a antiderivada encontrada, avaliamos entre os limites de 1 a $ e^{2} $:
Sabemos que $ \ln e^{2} = 2 $ e $ \ln 1 = 0 $. Substituindo:
Resposta
A área da região limitada é $ e^{2} + 1 $.