2
Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
y^prime=y+xx
d xd y=x y^32 y^4+x^4
d xd y=x y^32 y^4+x^4
y^prime=2 x yx^2-y^2 , no ponto
P(1,1)
y^prime=x^2+y^2x y
y^prime=x^4+3 x^2 y^2+y^4x^3 y, x>0 , no ponto
P(1,2)
3
a) Determine os valores
alpha, beta e
gamma , de modo que a equação diferencial
(9 x^2 y+beta y^2 gamma x y^3-2) d x+(alpha x^3-6 x^2 y^2+gamma x y+3) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de
alpha e
beta , de modo que a equação diferencial
(y^3+alpha x y+15 x^2 y^2-4) d z+(3 x y^2-2 x^2+beta x^3 y+7) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.
4
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
y2(x) da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação diferencial.
y^prime prime-4 y=2 ; y1=e^-2 x
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 ; y1(x)=x^2
x y^prime prime+(1-2 x) y^prime+(x-1) y=0 ; x>0, y1=e^x
x^2 y^prime prime-2 x y^prime-4 y=0 ; y1(x)=x^-1
5
Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
a)
(x+y) y^prime+x arctg(yx)=0
b)
(x-y) y^prime=y^2
c)
y^prime-2 x y=x^3
d)
y^prime=2 x y+y^3
e)
x y^prime+y=sen y
f)
(y-2 x y^prime)^2=y^prime 3
g)
y=x e^y^prime
h)
(y^prime-2 x y) raizy=x^3
i)
y^prime=(x+y)^2
j)
x cos y^prime+y sen y^prime=x^3
l)
(x^2-x y) y^prime=y^4
m)
(x^2+2 x y^3) d x+(y^2+3 x^2 y^2) d y=0 ,
6
Resolva as equações:
a)
y^prime=e^x-2 y
b)
x^2 y^2 d yd x=1+x^2
c)
y^prime sen x+y cos x=1
d)
y^prime=x^3-2 x y
e)
(1-x y)+(x y-x^2) y^prime=0
f)
(3 x^2 tg y-2 y^3x^3)+(x^3 sec ^2 y+4 y^3+3 y^2x^2) y^prime=0
g)
x y^prime=y+raizx^2+y^2
h)
(1+x^2) y^prime+x y+(1+x^2)^52=0
i)
y^prime=yx+cos ^2(yx)
7
(Equação de Bernoulli) A equação
onde
p(x) e
q(x) são funções contínuas em algum intervalo I da reta e
n in Re , é conhecida como a equação de Bernoulli. Se
n neq 0 e
n neq 1 a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável
z=y^1-n . Demostre isto, e resolva as equações:
a)
y(6 x^2 y^2-x+1)+2 x y^prime=0
b)
y^prime=y+e^-3 x y^4
c)
2 x^3 y^prime=y(y^2+3 x^2)
d)
x^3 y^prime=2 y(raiz[3]y+3 x^2)
8
a) Determine k sabendo que
mu(x, y)=y^kx é fator integrante da equação:
y d x+(x y^2-x ln (x)) d y=0 e , em seguida, resolva a equação para
y(1)=2 .
b) A equação
g(x) d y+(y+x) d x=0 tem
h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
g .
c) Ache um fator integrante da forma
h(x, y)=x^n y^m para a equação
y(y^2+) d x+x(y^2-1) ln (x) d y=0
9
(Equação de Ricatti) A equação
y^prime+p(x) y^2+q(x) y=R(x)
onde
p(x), q(x) e
R(x) são contínuas em algum intervalo I da reta e
q(x) neq 0 em I é conhecida como a Equação de Ricatti. Se
y1(x) é uma solção particular de
(*) , mostre que a mudança de variável
y=y1+1z transforma (*) numa equação linear de
1^a ordem em
z . Deduza daí que a solução geral de uma equação de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Aplique essa técnica para determinar a solução geral das equações:
a)
y^prime-x^3 y+x^2 y=1 ; y1(x)=x
b)
y^prime-x y^2+(2 x-1) y=x-1 ; y1(x)=1
c)
y^prime=-4x^2-1x y+y^2 ; y1(x)=2x
d)
y^prime=x^3(y-x)+yx ; y1(x)=x
10
Uma equação linear da forma
x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0 , onde
a e
beta são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável
x=e^z se
x>0 (e
x=-e^z se
x<0) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
a)
x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0
b)
x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0
c)
x^2 y^prime prime+3 x y^prime+10 y=0
d)
2 x^2 y^prime prime+10 x y^prime+3 y=0
d)
x^2 y^prime prime+2 x y^prime-12 y=0
11
Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
a)
y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 sen x
b)
y^prime prime-3 y^prime-4 y=e^-x
c)
y^prime prime-3 y+2 y=(1+x) e^3 x
d)
y^prime prime-4 y^prime+4=(1+x+x^2+cdots+x^27) e^2 x
e)
y^prime prime-3 y+2 y=sen 2 x
f)
y^prime prime-y=x^2 e^x
g)
y^prime prime-3 y+2 y=(1+x) e^3 x+sen 2 x
h)
y^prime prime+6 y^prime=sen x+x e^2 x
12
Resolva:
a)
y^prime+cos (x) y=sen(x) cdot cos (x), y(0)=1
b)
(a^2-x^2) y^prime+x y=a^2, -a