Em cada item, faça o gráfico da função.
(l) f(x, y)=x^2+y^2.

Passo 1

Estamos encarando a função de duas variáveis
f(x,y)=x^2+y^2
e queremos esboçar sua superfície no espaço (x,y,z). Para isso vamos usar curvas de nível (seções horizontais) e seções verticais (planos x=constante ou y=constante), que nos mostram o formato da superfície.

Passo 2

As curvas de nível são dadas por
f(x,y)=k Longrightarrow x^2+y^2=k,
onde k>=0. Cada curva de nível é uma circunferência de raio raizk no plano xy. Isso indica que, para planos horizontais z=k, a interseção com a superfície é um círculo de raio raizk.

Passo 3

Agora analisamos seções verticais:
– Se fixarmos y=y0, então
z=f(x,y0)=x^2+y0^2,
que é uma parábola em xz com vértice em (0,y0,y0^2) e aberta para cima.
– Se fixarmos x=x0, então
z=f(x0,y)=x0^2+y^2,
que é uma parábola em yz com vértice em (x0,0,x0^2) e também aberta para cima.

Passo 4

Juntando as informações:
  1. Em cada plano z=k temos circunferências concêntricas de raio raizk.
  2. Em cada plano vertical paralelo a xz ou yz temos parábolas.
Isso caracteriza uma paraboloide circular com vértice na origem (0,0,0) e aberta para o eixo z positivo.

Resposta

O gráfico de ,f(x,y)=x^2+y^2 é um paraboloide circular de vértice em (0,0,0), simétrico em relação ao eixo z e cujas curvas de nível são círculos de raio raizz no plano xy.

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