2
Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
-
-
-
-
, no ponto
-
-
, no ponto
3
a) Determine os valores
e
, de modo que a equação diferencial
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de
e
, de modo que a equação diferencial
seja exata, encontre a sua solução geral.
4
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação diferencial.
-
-
-
-
5
Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
,
6
Resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
7
(Equação de Bernoulli) A equação
onde
e
são funções contínuas em algum intervalo I da reta e
, é conhecida como a equação de Bernoulli. Se
e
a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável
. Demostre isto, e resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
8
a) Determine k sabendo que
é fator integrante da equação:
, em seguida, resolva a equação para
.
b) A equação
tem
como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
.
c) Ache um fator integrante da forma
para a equação
9
(Equação de Ricatti) A equação
onde
e
são contínuas em algum intervalo I da reta e
em I é conhecida como a Equação de Ricatti. Se
é uma solção particular de
, mostre que a mudança de variável
transforma (*) numa equação linear de
ordem em
. Deduza daí que a solução geral de uma equação de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Aplique essa técnica para determinar a solução geral das equações:
a)
b)
c)
d)
10
Uma equação linear da forma
, onde
e
são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável
se
(e
se
transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
a)
b)
c)
d)
d)
11
Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
12
Resolva:
a)
b)
Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
3
a) Determine os valores
b) Determine os valores de
4
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução
5
Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
l)
m)
6
Resolva as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
7
(Equação de Bernoulli) A equação
a)
b)
c)
d)
8
a) Determine k sabendo que
b) A equação
c) Ache um fator integrante da forma
9
(Equação de Ricatti) A equação
a)
b)
c)
d)
10
Uma equação linear da forma
a)
b)
c)
d)
d)
11
Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
12
Resolva:
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se cada equação diferencial é homogênea e, se for, resolvê-la usando a definição de homogeneidade e as substituições padrão (y= u x ou x= v y). Vamos trabalhar em blocos, agrupando os procedimentos.
Uma equação y′=f(x,y) é homogênea se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t≠0; nesse caso fazemos y= u x, de onde y′=u+x du/dx. Uma equação dx/dy=g(x,y) é homogênea se g(tx,ty)=g(x,y); aí fazemos x= v y, de onde dx/dy=v+y dv/dy.
Uma equação y′=f(x,y) é homogênea se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t≠0; nesse caso fazemos y= u x, de onde y′=u+x du/dx. Uma equação dx/dy=g(x,y) é homogênea se g(tx,ty)=g(x,y); aí fazemos x= v y, de onde dx/dy=v+y dv/dy.
Passo 2
Equações 1), 4), 5) e 6) são do tipo y′=f(x,y) e verificam f(tx,ty)=f(x,y), logo são homogêneas. Aplicamos y= u x e y′=u+x u′ em cada caso:
– 1) y′=(x+y)/x=1+u ⇒ u+x u′=1+u ⇒ x u′=1 ⇒ u=ln|x|+C ⇒ y=x(ln|x|+C).
– 4) y′=2xy/(x²−y²)=2u/(1−u²) ⇒ u+x u′=2u/(1−u²) ⇒ x u′=u(1+u²)/(1−u²) ⇒ ∫(1−u²)/[u(1+u²)]du=∫dx/x ⇒ ln|u|−½ln(1+u²)=ln|x|+C. Substituindo u=y/x e exponenciando: y/(x²+y²)=K. No ponto P(1,1) ―> K=1/2.
– 5) y′=(x²+y²)/(x y)=(1+u²)/u ⇒ u+x u′=(1+u²)/u ⇒ x u′=1/u ⇒ ∫u du=∫dx/x ⇒ u²=2ln|x|+C ⇒ y²=x²(2ln|x|+C).
– 6) y′=(x⁴+3x²y²+y⁴)/(x³y)=(1+3u²+u⁴)/u ⇒ u+x u′=(1+3u²+u⁴)/u ⇒ x u′=(1+2u²+u⁴)/u=(1+u²)²/u ⇒ ∫u/(1+u²)²du=∫dx/x ⇒ −1/[2(1+u²)]=ln|x|+C. Substituindo u=y/x gera implicitamente (x²+y²)−1=(const)·x².
– 1) y′=(x+y)/x=1+u ⇒ u+x u′=1+u ⇒ x u′=1 ⇒ u=ln|x|+C ⇒ y=x(ln|x|+C).
– 4) y′=2xy/(x²−y²)=2u/(1−u²) ⇒ u+x u′=2u/(1−u²) ⇒ x u′=u(1+u²)/(1−u²) ⇒ ∫(1−u²)/[u(1+u²)]du=∫dx/x ⇒ ln|u|−½ln(1+u²)=ln|x|+C. Substituindo u=y/x e exponenciando: y/(x²+y²)=K. No ponto P(1,1) ―> K=1/2.
– 5) y′=(x²+y²)/(x y)=(1+u²)/u ⇒ u+x u′=(1+u²)/u ⇒ x u′=1/u ⇒ ∫u du=∫dx/x ⇒ u²=2ln|x|+C ⇒ y²=x²(2ln|x|+C).
– 6) y′=(x⁴+3x²y²+y⁴)/(x³y)=(1+3u²+u⁴)/u ⇒ u+x u′=(1+3u²+u⁴)/u ⇒ x u′=(1+2u²+u⁴)/u=(1+u²)²/u ⇒ ∫u/(1+u²)²du=∫dx/x ⇒ −1/[2(1+u²)]=ln|x|+C. Substituindo u=y/x gera implicitamente (x²+y²)−1=(const)·x².
Passo 3
Equações 2) e 3) são idênticas: dx/dy= x y³/(2y⁴+x⁴), também homogênea (grau 0). Fazemos x= v y e dx/dy=v+y v′:
v+y v′ = v/(2+v⁴) ⇒ y v′ = −v(1+v⁴)/(2+v⁴) ⇒ ∫(2+v⁴)/[v(1+v⁴)]dv = −∫dy/y ⇒ 8ln|v|−ln(1+v⁴)=−4ln|y|+C. Voltando a x/v=y: x⁸= C (x⁴+y⁴).
v+y v′ = v/(2+v⁴) ⇒ y v′ = −v(1+v⁴)/(2+v⁴) ⇒ ∫(2+v⁴)/[v(1+v⁴)]dv = −∫dy/y ⇒ 8ln|v|−ln(1+v⁴)=−4ln|y|+C. Voltando a x/v=y: x⁸= C (x⁴+y⁴).
Resposta
- y = x(ln|x| + C)
- x⁸ = C (x⁴ + y⁴)
- mesmo da 2), x⁸ = C (x⁴ + y⁴)
- y/(x²+y²) = 1/2 (no ponto P(1,1)) ⇒ 2y = x²+y²
- y² = x²(2 ln|x| + C)
- implicitamente −1/[2(1+(y/x)²)] = ln x + C ⇒ (x²+y²)^{-1} ∝ x²