2
Verifique se as esquações são homogêneas e, se forem, as resolva.
  1. y^prime=y+xx
  2. d xd y=x y^32 y^4+x^4
  3. d xd y=x y^32 y^4+x^4
  4. y^prime=2 x yx^2-y^2, no ponto P(1,1)
  5. y^prime=x^2+y^2x y
  6. y^prime=x^4+3 x^2 y^2+y^4x^3 y, x>0, no ponto P(1,2)
    3
    a) Determine os valores alpha, beta e gamma, de modo que a equação diferencial
(9 x^2 y+beta y^2 gamma x y^3-2) d x+(alpha x^3-6 x^2 y^2+gamma x y+3) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de alpha e beta, de modo que a equação diferencial
(y^3+alpha x y+15 x^2 y^2-4) d z+(3 x y^2-2 x^2+beta x^3 y+7) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.
4
Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação diferencial.
  1. y^prime prime-4 y=2 ; y1=e^-2 x
  2. x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 ; y1(x)=x^2
  3. x y^prime prime+(1-2 x) y^prime+(x-1) y=0 ; x>0, y1=e^x
  4. x^2 y^prime prime-2 x y^prime-4 y=0 ; y1(x)=x^-1
    5
    Determinar o tipo das seguintes equações diferenciais e indicar o método de resolução:
    a) (x+y) y^prime+x arctg(yx)=0
    b) (x-y) y^prime=y^2
    c) y^prime-2 x y=x^3
    d) y^prime=2 x y+y^3
    e) x y^prime+y=sen y
    f) (y-2 x y^prime)^2=y^prime 3
    g) y=x e^y^prime
    h) (y^prime-2 x y) raizy=x^3
    i) y^prime=(x+y)^2
    j) x cos y^prime+y sen y^prime=x^3
    l) (x^2-x y) y^prime=y^4
    m) (x^2+2 x y^3) d x+(y^2+3 x^2 y^2) d y=0,
    6
    Resolva as equações:
    a) y^prime=e^x-2 y
    b) x^2 y^2 d yd x=1+x^2
    c) y^prime sen x+y cos x=1
    d) y^prime=x^3-2 x y
    e) (1-x y)+(x y-x^2) y^prime=0
    f) (3 x^2 tg y-2 y^3x^3)+(x^3 sec ^2 y+4 y^3+3 y^2x^2) y^prime=0
    g) x y^prime=y+raizx^2+y^2
    h) (1+x^2) y^prime+x y+(1+x^2)^52=0
    i) y^prime=yx+cos ^2(yx)
    7
    (Equação de Bernoulli) A equação
y^prime+p(x) y=q(x) y^n
onde p(x) e q(x) são funções contínuas em algum intervalo I da reta e n in Re, é conhecida como a equação de Bernoulli. Se n neq 0 e n neq 1 a equação não é linear, mas pode ser transformada em uma equação linear fazendo a mudança de variável z=y^1-n. Demostre isto, e resolva as equações:
a) y(6 x^2 y^2-x+1)+2 x y^prime=0
b) y^prime=y+e^-3 x y^4
c) 2 x^3 y^prime=y(y^2+3 x^2)
d) x^3 y^prime=2 y(raiz[3]y+3 x^2)
8
a) Determine k sabendo que mu(x, y)=y^kx é fator integrante da equação: y d x+(x y^2-x ln (x)) d y=0 e, em seguida, resolva a equação para y(1)=2.
b) A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções g.
c) Ache um fator integrante da forma h(x, y)=x^n y^m para a equação y(y^2+) d x+x(y^2-1) ln (x) d y=0
9
(Equação de Ricatti) A equação
y^prime+p(x) y^2+q(x) y=R(x)
onde p(x), q(x) e R(x) são contínuas em algum intervalo I da reta e q(x) neq 0 em I é conhecida como a Equação de Ricatti. Se y1(x) é uma solção particular de (*), mostre que a mudança de variável y=y1+1z transforma (*) numa equação linear de 1^a ordem em z. Deduza daí que a solução geral de uma equação de Ricatti pode ser encontrada, desde que se conheça uma solução particular. Aplique essa técnica para determinar a solução geral das equações:
a) y^prime-x^3 y+x^2 y=1 ; y1(x)=x
b) y^prime-x y^2+(2 x-1) y=x-1 ; y1(x)=1
c) y^prime=-4x^2-1x y+y^2 ; y1(x)=2x
d) y^prime=x^3(y-x)+yx ; y1(x)=x
10
Uma equação linear da forma x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0, onde a e beta são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável x=e^z se x>0 (e x=-e^z se x<0) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
a) x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0
b) x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0
c) x^2 y^prime prime+3 x y^prime+10 y=0
d) 2 x^2 y^prime prime+10 x y^prime+3 y=0
d) x^2 y^prime prime+2 x y^prime-12 y=0
11
Determine uma solução particular de cada uma das seguintes equações:
a) y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 sen x
b) y^prime prime-3 y^prime-4 y=e^-x
c) y^prime prime-3 y+2 y=(1+x) e^3 x
d) y^prime prime-4 y^prime+4=(1+x+x^2+cdots+x^27) e^2 x
e) y^prime prime-3 y+2 y=sen 2 x
f) y^prime prime-y=x^2 e^x
g) y^prime prime-3 y+2 y=(1+x) e^3 x+sen 2 x
h) y^prime prime+6 y^prime=sen x+x e^2 x
12
Resolva:
a) y^prime+cos (x) y=sen(x) cdot cos (x), y(0)=1
b) (a^2-x^2) y^prime+x y=a^2, -a

Passo 1

O enunciado pede para verificar se cada equação diferencial é homogênea e, se for, resolvê-la usando a definição de homogeneidade e as substituições padrão (y= u x ou x= v y). Vamos trabalhar em blocos, agrupando os procedimentos.
Uma equação y′=f(x,y) é homogênea se f(tx,ty)=f(x,y) para todo t≠0; nesse caso fazemos y= u x, de onde y′=u+x du/dx. Uma equação dx/dy=g(x,y) é homogênea se g(tx,ty)=g(x,y); aí fazemos x= v y, de onde dx/dy=v+y dv/dy.

Passo 2

Equações 1), 4), 5) e 6) são do tipo y′=f(x,y) e verificam f(tx,ty)=f(x,y), logo são homogêneas. Aplicamos y= u x e y′=u+x u′ em cada caso:
– 1) y′=(x+y)/x=1+u ⇒ u+x u′=1+u ⇒ x u′=1 ⇒ u=ln|x|+C ⇒ y=x(ln|x|+C).
– 4) y′=2xy/(x²−y²)=2u/(1−u²) ⇒ u+x u′=2u/(1−u²) ⇒ x u′=u(1+u²)/(1−u²) ⇒ ∫(1−u²)/[u(1+u²)]du=∫dx/x ⇒ ln|u|−½ln(1+u²)=ln|x|+C. Substituindo u=y/x e exponenciando: y/(x²+y²)=K. No ponto P(1,1) ―> K=1/2.
– 5) y′=(x²+y²)/(x y)=(1+u²)/u ⇒ u+x u′=(1+u²)/u ⇒ x u′=1/u ⇒ ∫u du=∫dx/x ⇒ u²=2ln|x|+C ⇒ y²=x²(2ln|x|+C).
– 6) y′=(x⁴+3x²y²+y⁴)/(x³y)=(1+3u²+u⁴)/u ⇒ u+x u′=(1+3u²+u⁴)/u ⇒ x u′=(1+2u²+u⁴)/u=(1+u²)²/u ⇒ ∫u/(1+u²)²du=∫dx/x ⇒ −1/[2(1+u²)]=ln|x|+C. Substituindo u=y/x gera implicitamente (x²+y²)−1=(const)·x².

Passo 3

Equações 2) e 3) são idênticas: dx/dy= x y³/(2y⁴+x⁴), também homogênea (grau 0). Fazemos x= v y e dx/dy=v+y v′:
v+y v′ = v/(2+v⁴) ⇒ y v′ = −v(1+v⁴)/(2+v⁴) ⇒ ∫(2+v⁴)/[v(1+v⁴)]dv = −∫dy/y ⇒ 8ln|v|−ln(1+v⁴)=−4ln|y|+C. Voltando a x/v=y: x⁸= C (x⁴+y⁴).

Resposta

  1. y = x(ln|x| + C)
  2. x⁸ = C (x⁴ + y⁴)
  3. mesmo da 2), x⁸ = C (x⁴ + y⁴)
  4. y/(x²+y²) = 1/2 (no ponto P(1,1)) ⇒ 2y = x²+y²
  5. y² = x²(2 ln|x| + C)
  6. implicitamente −1/[2(1+(y/x)²)] = ln x + C ⇒ (x²+y²)^{-1} ∝ x²

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