Encontre d yd x e d^2 yd x^2. Para quais valores de t a curva é côncava para cima?
x=t^2+1, y=t^2+t

Passo 1

Temos a curva dada em forma paramétrica
x = t^2 + 1, y = t^2 + t
O conteúdo aqui é derivação de curvas paramétricas: primeiro encontramos tfracdydx como razão tfracdy/dtdx/dt e depois tfracd^2ydx^2 usando a fórmula
d^2ydx^2 ;=;ddtl(dydxr)dxdt

Passo 2

Calculamos tfracdxdt e tfracdydt:
dxdt = ddt(t^2+1) = 2t, dydt = ddt(t^2+t) = 2t + 1

Passo 3

A derivada primeira é
dydx = dydtdxdt = 2t+12t

Passo 4

Derivamos dydx em relação a t e dividimos por tfracdxdt:
  1. Primeiro,
ddtl(2t+12tr) = ddtl(1 + 12tr) = -12,t^2
  1. Então
d^2ydx^2 = -tfrac12,t^22t = -14,t^3

Passo 5

A concavidade para cima ocorre quando tfracd^2ydx^2>0. Como
d^2ydx^2 = -14,t^3,
isso é positivo se e somente se -1/(4t^3)>0, ou seja t^3<0. Logo a curva é côncava para cima quando
t<0

Resposta

dydx = 2t+12t, d^2ydx^2 = -14,t^3,
e a curva é côncava para cima para t<0.

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