Estude a convergência/divergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (-1)^nn(x-1)^n

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma série de potências para estudar se ela converge ou diverge:
sumn=1^infty (-1)^nn(x-1)^n
O conteúdo que vamos usar aqui é sobre convergência de séries de potências. Para isso, vamos precisar entender como aplicar o Teste da Razão e verificar o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série que estamos trabalhando. Temos:
sumn=1^infty (-1)^nn(x-1)^n
Essa é uma série de potências centrada em x = 1 . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de x essa série converge.

Passo 3

Vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O Teste da Razão nos diz que se:
L = limn to infty | an+1an |
então a série converge se L < 1 , diverge se L > 1 e é inconclusiva se L = 1 .

Passo 4

Identificamos o termo geral an da nossa série:
an = (-1)^nn(x-1)^n
Vamos calcular an+1an :
an+1an = (-1)^n+1n+1(x-1)^n+1 cdot n(-1)^n(x-1)^n = -nn+1(x-1)

Passo 5

Agora, aplicamos o valor absoluto e o limite:
L = limn to infty | -nn+1(x-1) | = limn to infty nn+1 |x-1| = |x-1|
Queremos que L < 1 para a série convergir:
|x-1| < 1

Passo 6

Resolvendo a inequação |x-1| < 1 , temos:
-1 < x - 1 < 1 0 < x < 2
Então, o raio de convergência é 1, e a série converge para 0 < x < 2 .

Passo 7

Precisamos verificar o comportamento da série nas extremidades do intervalo x = 0 e x = 2 .
Para x = 0 :
sumn=1^infty (-1)^nn(-1)^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que diverge.
Para x = 2 :
sumn=1^infty (-1)^nn(1)^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada, que converge pelo Teste da Alternância.

Resposta

A série $ sumn=1^infty (-1)^nn(x-1)^n x x 0 < x <= 2 0 < x \leq 2 x <= 0 x \leq 0$.

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