Em cada item, faça o que se pede:
Determine a derivada da função f(x)=\frac{x^{3}+x}{x^{2}+5}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=\frac{x^3+x}{x^2+5}. O conteúdo matemático que vamos usar é a regra do quociente para derivadas.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(x)=x^3+x
e
v(x)=x^2+5
e lembramos que, pela regra do quociente,
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e de v:
u'(x)=3x^2+1,
v'(x)=2x.

Passo 4

Substituindo na fórmula da regra do quociente, obtemos
f'(x) =\frac{(3x^2+1)(x^2+5)-(x^3+x)\cdot2x}{(x^2+5)^2}.

Passo 5

Desenvolvendo e simplificando o numerador:
(3x^2+1)(x^2+5)=3x^4+16x^2+5,
(x^3+x)\cdot2x=2x^4+2x^2,
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f'(x) =\frac{3x^4+16x^2+5-(2x^4+2x^2)}{(x^2+5)^2} =\frac{x^4+14x^2+5}{(x^2+5)^2}.

Resposta

f'(x)=\frac{x^4+14x^2+5}{(x^2+5)^2}.

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