Em cada item, identificar e esboçar a cônica dada pela equação: x^{2}-y^{2}+2 x+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para identificar e esboçar a cônica dada por
x^{2}-y^{2}+2x+2y=0.
Aqui o conteúdo é classificação de cônicas por “completar quadrados” e, se for o caso, fatoração. Vamos completar quadrados em x e em y para levar a equação a uma forma reconhecível.

Passo 2

Agrupando termos em x e em y e completando quadrados, temos
x^{2}+2x \;-\;\bigl(y^{2}-2y\bigr)=0.
Complete o quadrado em x:
x^{2}+2x = (x+1)^{2}-1,
e em y:
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1.

Passo 3

Substituindo na equação original:
(x+1)^{2}-1 \;-\;\bigl[(y-1)^{2}-1\bigr]=0 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{2}-1-(y-1)^{2}+1=0
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(x+1)^{2} - (y-1)^{2} = 0.

Passo 4

A equação
(x+1)^{2} - (y-1)^{2} = 0
é uma diferença de quadrados, que se fatora assim:
\bigl(x+1 - (y-1)\bigr)\,\bigl(x+1 + (y-1)\bigr)=0.

Passo 5

Cada fator igual a zero dá uma reta:
x+1 - (y-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad y = x+2,
x+1 + (y-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad y = -x.
Portanto a “cônica” é degenerada em duas retas que se cruzam.

Passo 6

O ponto de interseção (centro) é obtido resolvendo simultaneamente y=x+2 e y=-x:
x+2 = -x \quad\Longrightarrow\quad 2x = -2 \quad\Longrightarrow\quad x=-1,
então y= -(-1)=1.
Esboço: no ponto (-1,1) traçamos duas retas de inclinação +1 e -1.

Resposta

A cônica é degenerada em um par de retas
y = x+2 \quad\text{e}\quad y = -x,
que se cruzam no ponto (-1,1).

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