Em cada item, identificar e esboçar a cônica dada pela equação: x^{2}-y^{2}+2 x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação de segundo grau em x e y
x^{2}-y^{2}+2x=0
e pede que a gente identifique que tipo de cônica é e faça um esboço. Para isso, vamos completar o quadrado em x e reescrever na forma padrão de cônicas centradas.

Passo 2

Agrupamos e completamos o quadrado em x:
x^{2}+2x - y^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x^{2}+2x+1)-1 - y^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x+1)^{2} - y^{2} = 1.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão dividindo tudo por 1, temos
\frac{(x+1)^{2}}{1} \;-\;\frac{y^{2}}{1} \;=\;1.
Isso mostra que se trata de uma hipérbole centrada em (-1,0), com semi-eixo transverso a=1 ao longo do eixo x e semi-eixo conjugado b=1 ao longo do eixo y. Os vértices ficam em
(-1\pm a,\,0) = (0,0)\quad\text{e}\quad(-2,0).

Passo 4

As assíntotas de uma hipérbole nessa forma são dadas por
y = \pm\frac{b}{a}(x+1) \quad\Longrightarrow\quad y = \pm(x+1).
No esboço, o centro (-1,0) é o ponto de cruzamento das assíntotas, e os ramos abrem-se para a direita e para a esquerda, aproximando-se das linhas y=x+1 e y=-x-1.

Resposta

É uma hipérbole de equação padrão
\frac{(x+1)^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{1} = 1,
centro em (-1,0), vértices em (0,0) e (-2,0), com assíntotas y = x+1 e y = -x-1.

Exercícios relacionados