Sejam \Sigma_{1}=\left(O_{1}, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e \Sigma_{2}=\left(O_{2}, \overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) sistemas de coordenadas tais que
O_{2}=(1,0,0)_{\Sigma_{1}}, \quad \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}, \quad \overrightarrow{f_{2}}=-\overrightarrow{e_{3}} \text { e } \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}
Escreva as equações de mudança de coordenadas de \Sigma_{1} para \Sigma_{2} e, em seguida, obtenha, em relação a \Sigma_{2}, uma equação geral de \pi:[2 x-y+z=0]_{\Sigma_{1}}.

Passo 1

O enunciado define dois sistemas de coordenadas \Sigma_{1} e \Sigma_{2} em \mathbb{R}^3, com mudança de origem e de base. Precisamos encontrar as equações que expressam as coordenadas (u,v,w) de um ponto em \Sigma_{2} em função de suas coordenadas (x,y,z) em \Sigma_{1} e, em seguida, reescrever a equação do plano \pi\colon 2x - y + z = 0 (dada em \Sigma_{1}) nas coordenadas de \Sigma_{2}.

Passo 2

Seja P um ponto com coordenadas (u,v,w) no sistema \Sigma_{2}. Em \Sigma_{1} temos
\overrightarrow{O_{1}P} = \overrightarrow{O_{1}O_{2}} + u\,\overrightarrow{f_{1}} + v\,\overrightarrow{f_{2}} + w\,\overrightarrow{f_{3}}.
Como \overrightarrow{O_{1}O_{2}}=(1,0,0), \overrightarrow{f_{1}}=(1,0,0), \overrightarrow{f_{2}}=(0,0,-1) e \overrightarrow{f_{3}}=(1,1,0), obtemos as coordenadas em \Sigma_{1}:
x = 1 + u + w,\quad y = w,\quad z = -\,v.

Passo 3

Invertendo essas expressões para escrever (u,v,w) em função de (x,y,z), segue
v = -\,z,\quad w = y,\quad u = x - y - 1.

Passo 4

A equação do plano \pi em \Sigma_{1} é
2x - y + z = 0.
Substituindo x=1+u+w, y=w e z=-v, obtemos
2(1+u+w) - w + (-v) = 0
2 + 2u + 2w - w - v = 0
2u + w - v + 2 = 0.

Resposta

u = x - y - 1
v = -\,z
w = y
2u - v + w + 2 = 0

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