Sejam \Sigma_{1}=\left(O_{1}, \overrightarrow{e_{1}}, \overrightarrow{e_{2}}, \overrightarrow{e_{3}}\right) e \Sigma_{2}=\left(O_{2}, \overrightarrow{f_{1}}, \overrightarrow{f_{2}}, \overrightarrow{f_{3}}\right) sistemas de coordenadas tais que
O_{2}=(1,0,0)_{\Sigma_{1}}, \quad \overrightarrow{f_{1}}=\overrightarrow{e_{1}}, \quad \overrightarrow{f_{2}}=-\overrightarrow{e_{3}} \text { e } \overrightarrow{f_{3}}=\overrightarrow{e_{1}}+\overrightarrow{e_{2}}
Escreva as equações de mudança de coordenadas de \Sigma_{1} para \Sigma_{2} e, em seguida, obtenha, em relação a \Sigma_{2}, uma equação geral de \pi:[2 x-y+z=0]_{\Sigma_{1}}.
Passo 1
O enunciado define dois sistemas de coordenadas \Sigma_{1} e \Sigma_{2} em \mathbb{R}^3, com mudança de origem e de base. Precisamos encontrar as equações que expressam as coordenadas (u,v,w) de um ponto em \Sigma_{2} em função de suas coordenadas (x,y,z) em \Sigma_{1} e, em seguida, reescrever a equação do plano \pi\colon 2x - y + z = 0 (dada em \Sigma_{1}) nas coordenadas de \Sigma_{2}.
Passo 2
Seja P um ponto com coordenadas (u,v,w) no sistema \Sigma_{2}. Em \Sigma_{1} temos
Como \overrightarrow{O_{1}O_{2}}=(1,0,0), \overrightarrow{f_{1}}=(1,0,0), \overrightarrow{f_{2}}=(0,0,-1) e \overrightarrow{f_{3}}=(1,1,0), obtemos as coordenadas em \Sigma_{1}:
x = 1 + u + w,\quad y = w,\quad z = -\,v.
Passo 3
Invertendo essas expressões para escrever (u,v,w) em função de (x,y,z), segue