Em cada item, informe se a reta do espaço é concorrente (ou secante), paralela ou está contida no plano. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles.
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Passo 1
Vamos começar lembrando o que a questão pede: precisamos determinar se a reta r e o plano π são concorrentes (ou secantes), paralelos ou se a reta está contida no plano. Depois, calcular o ângulo entre eles e a distância de r a π. O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço, e vamos usar vetores: o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano.
Passo 2
A reta é dada por r: (x,y,z) = (1,1,1) + t(1,−2,0). Então o vetor diretor de r é
O plano é π: 2x + y − z − 2 = 0. Seu vetor normal é
Passo 3
Para classificar a posição, calculamos o produto escalar v·n:
Como v·n = 0, a reta é paralela ao plano. Para ver se ela está contida, basta verificar se um ponto de r satisfaz a equação de π. Tomando P₀ = (1,1,1) em π:
Logo, P₀ pertence a π e, portanto, toda a reta está em π.
Passo 4
O ângulo α entre reta e plano satisfaz α = 90° − θ, onde θ é o ângulo entre v e n dado por
Como v·n = 0, temos θ = 90°. Então
Passo 5
A distância de uma reta paralela a um plano é a mesma que a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Como P₀ = (1,1,1) já está em π, essa distância é zero. Alternativamente, usaríamos
Resposta
A reta está contida no plano, o ângulo entre eles é 0° e a distância entre r e π é 0.