Em cada item, informe se a reta do espaço é concorrente (ou secante), paralela ou está contida no plano. Além disso, calcule o ângulo e a distância entre eles. r:(x, y, z)=(1,1,1)+t(1,-2,0) e pi: 2 x+y-z-2=0

Passo 1

Vamos começar lembrando o que a questão pede: precisamos determinar se a reta r e o plano π são concorrentes (ou secantes), paralelos ou se a reta está contida no plano. Depois, calcular o ângulo entre eles e a distância de r a π. O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço, e vamos usar vetores: o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano.

Passo 2

A reta é dada por r: (x,y,z) = (1,1,1) + t(1,−2,0). Então o vetor diretor de r é
v = (1, -2, 0)
O plano é π: 2x + y − z − 2 = 0. Seu vetor normal é
n = (2, 1, -1)

Passo 3

Para classificar a posição, calculamos o produto escalar v·n:
v cdot n = 1·2 + (-2)·1 + 0·(-1) = 2 - 2 + 0 = 0
Como v·n = 0, a reta é paralela ao plano. Para ver se ela está contida, basta verificar se um ponto de r satisfaz a equação de π. Tomando P₀ = (1,1,1) em π:
2·1 + 1·1 - 1 - 2 = 2 + 1 - 1 - 2 = 0
Logo, P₀ pertence a π e, portanto, toda a reta está em π.

Passo 4

O ângulo α entre reta e plano satisfaz α = 90° − θ, onde θ é o ângulo entre v e n dado por
cos θ = |v cdot n||v|,|n|
Como v·n = 0, temos θ = 90°. Então
α = 90° - 90° = 0°

Passo 5

A distância de uma reta paralela a um plano é a mesma que a distância de qualquer ponto da reta ao plano. Como P₀ = (1,1,1) já está em π, essa distância é zero. Alternativamente, usaríamos
dist = |2x0 + y0 - z0 - 2|raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 0

Resposta

A reta está contida no plano, o ângulo entre eles é 0° e a distância entre r e π é 0.

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