Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinarmos se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries. Precisamos entender qual teste aplicar e por quê.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da série: . À medida que cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas percebemos que o termo de maior grau no denominador é , o que sugere que a série pode se comportar de maneira semelhante a , que é uma série harmônica conhecida por divergir.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. O Teste da Razão envolve calcular o limite:
Onde ak = 2k + 13k^2 - 1.
Passo 4
Calculando o limite:
L = limk to infty 2(k + 1) + 13(k + 1)^2 - 1 cdot 3k^2 - 12k + 1
Simplificando os termos de maior grau:
L = limk to infty 2k + 33k^2 + 6k + 2 cdot 3k^22k
L = limk to infty (2k)(3k^2)(3k^2)(2k) = 6k^36k^3 = 1
Como L = 1, o Teste da Razão é inconclusivo nesse caso.
Passo 5
Como o Teste da Razão não nos deu uma resposta clara, vamos tentar o Teste da Comparação pelo Limite. Observamos que:
2k + 13k^2 - 1 sim 2k3k^2 = 23k
A série sum 1k é a série harmônica, que sabemos que diverge. Como 23k é comparável a 1k e positiva para todo k, pelo Teste da Comparação pelo Limite, nossa série também diverge.
Resposta
( ) diverge pelo Teste da Divergência
( ) converge pelo teste da razão
( ) diverge pelo teste da razão X diverge pelo teste da comparação no limite