Em cada item marque com um X a alternativa correta.
© A série sumk=1^infty 2 k+13 k^2-1
( ) diverge pelo Teste da Divergência
( ) converge pelo teste da razão
( ) diverge pelo teste da razão
( ) diverge pelo teste da comparação no limite

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para determinarmos se a série sumk=1^infty 2k + 13k^2 - 1 converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries. Precisamos entender qual teste aplicar e por quê.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da série: 2k + 13k^2 - 1. À medida que k cresce, tanto o numerador quanto o denominador aumentam, mas percebemos que o termo de maior grau no denominador é k^2, o que sugere que a série pode se comportar de maneira semelhante a 1k, que é uma série harmônica conhecida por divergir.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão para verificar a convergência da série. O Teste da Razão envolve calcular o limite:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde ak = 2k + 13k^2 - 1.

Passo 4

Calculando o limite:
L = limk to infty 2(k + 1) + 13(k + 1)^2 - 1 cdot 3k^2 - 12k + 1
Simplificando os termos de maior grau:
L = limk to infty 2k + 33k^2 + 6k + 2 cdot 3k^22k
L = limk to infty (2k)(3k^2)(3k^2)(2k) = 6k^36k^3 = 1
Como L = 1, o Teste da Razão é inconclusivo nesse caso.

Passo 5

Como o Teste da Razão não nos deu uma resposta clara, vamos tentar o Teste da Comparação pelo Limite. Observamos que:
2k + 13k^2 - 1 sim 2k3k^2 = 23k
A série sum 1k é a série harmônica, que sabemos que diverge. Como 23k é comparável a 1k e positiva para todo k, pelo Teste da Comparação pelo Limite, nossa série também diverge.

Resposta

( ) diverge pelo Teste da Divergência
( ) converge pelo teste da razão
( ) diverge pelo teste da razão
X diverge pelo teste da comparação no limite

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