Determine se cada série converge ou diverge.
(f) sumk=1^infty 2 k^3+k^2+6 kk^5+5 k^2-2 k+4

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série sumk=1^infty 2 k^3+k^2+6 kk^5+5 k^2-2 k+4. Isso faz parte do conteúdo de séries numéricas e testes de convergência. Para resolver, vamos usar o teste da comparação limite com uma p-série.

Passo 2

Chamemos de ak o termo geral da série:
ak = 2 k^3+k^2+6 kk^5+5 k^2-2 k+4

Passo 3

Para k grande, os termos de maior grau dominam. No numerador, o termo dominante é 2k^3 e no denominador é k^5. Logo,
ak sim 2k^3k^5 = 2k^2

Passo 4

Escolhemos a p-série sum bk com bk = 1/k^2, que converge pois p=2>1. Calculamos o limite
L = limktoinfty akbk = limktoinfty 2k^3 + k^2 +6kk^5 +5k^2 -2k +4 cdot k^2 = limktoinfty 2k^5 + k^4 +6k^3k^5 +5k^2 -2k +4 = 2

Passo 5

Como 0 < L < infty e sum bk converge, a série sum ak também converge pelo teste da comparação limite.

Resposta

A série converge pelo teste da comparação limite com a p-série de parâmetro p=2.

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