Quais das sequências an convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
(b) an=(-2)^n

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos determinar se a sequência an = (-2)^n converge ou diverge e, se converger, encontrar o seu limite. Para isso, vamos trabalhar com o conceito de convergência de sequências e cálculo de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma sequência convergir. Uma sequência converge se, conforme n cresce, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de um número específico chamado de limite. Se isso não acontecer, a sequência diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar a nossa sequência an = (-2)^n. Observamos que temos uma base negativa (-2) elevada à potência n. Isso significa que o sinal da sequência vai alternar com cada termo:
  • Para n = 1: a1 = (-2)^1 = -2
  • Para n = 2: a2 = (-2)^2 = 4
  • Para n = 3: a3 = (-2)^3 = -8
  • E assim por diante.

Passo 4

Além da alternância de sinais, a magnitude dos termos da sequência está aumentando exponencialmente. Ou seja, os valores absolutos de an estão crescendo sem parar:
  • |a1| = 2
  • |a2| = 4
  • |a3| = 8
  • E continua aumentando.

Passo 5

Para uma sequência convergir, os termos precisam se aproximar de um número fixo. No nosso caso, como os valores de |an| estão aumentando sem limite e os sinais estão alternando, a sequência não está se aproximando de nenhum número específico.

Passo 6

Portanto, como os termos da sequência an = (-2)^n não se aproximam de nenhum número fixo e, na verdade, estão crescendo em magnitude de forma indefinida, concluímos que a sequência não converge.

Resposta

A sequência an = (-2)^n diverge.

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